Paralelepípedo

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Um Paralelepípedo mostrando as arestas

Paralelepípedo ou bloco retangular é a designação dada a um prisma cujas faces são paralelogramos. Um paralelepípedo tem seis faces, sendo que duas são idênticas e paralelas entre si. Os paralelepípedos podem ser retos ou oblíquos, consoante as suas faces laterais sejam perpendiculares ou não à base.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em geometria, um 'paralelepípedo' é uma forma tridimensional cujas 6 faces são paralelogramos. O paralelepípedo pode ser definido de três formas distintas:

  • É um prisma cuja base é um paralelogramo;
  • É um hexaedro do qual cada face é um paralelogramo;
  • É um hexaedro com três pares de faces paralelas.

Os paralelepípedos constituem uma subclasse dos prismatóides.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cada um dos três pares de faces paralelas do paralelepípedo pode ser considerado como a base, já que o prisma tem três conjuntos de quatro arestas paralelas, as quais, em cada conjunto, têm o mesmo comprimento.

O paralelepípedo pode ser encarado como o resultado da transformação linear de um cubo.

Volume[editar | editar código-fonte]

O volume de um paralelepípedo é o produto da área da sua base pela altura. Para este efeito a base pode ser qualquer das faces, sendo a altura medida perpendicularmente ao plano que contém a base. Por outro lado, se os vectores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) representarem as três arestas que se encontrem num vértice, então o volume do paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto triplo escalar a · (b × c), ou, o que é equivalente, ao valor absoluto do determinante:

 \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & b_1 & c_1 \\
        a_2 & b_2 & c_2 \\
        a_3 & b_3 & c_3
 \end{bmatrix} \right|.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Para paralelepípedos com um plano de simetria existem dois casos:

  • Têm quatro faces rectangulares;
  • Têm duas faces rômbicas, e das restantes, cada duas faces adjacentes são iguais (os dois pares são imagens invertidas entre si). Veja monoclínico.
  • Um cubóide é um paralelepípedo onde todas as faces são rectangulares.
  • Um romboedro é um paralelepípedo com faces rômbicas congruentes entre si.
  • Um cubo é um paralelepípedo com ambas as propriedades anteriores, isto é cujas faces são quadrados.

O paralelepípedo em espaços[editar | editar código-fonte]

A designação paralelepípedo é também usada para formas análogas em espaços geométricos com mais de três dimensões.

A designação paralelepípedo, sem qualquer qualificativo, refere-se em geral à forma num espaço tridimensional, o percebido por nós. Num espaço n-dimensional, é comum usar-se a designação paralelepípedo n-dimensional, ou simplesmente n-paralelepípedo. Em 1D o análogo ao paralelepípedo é um intervalo, em 2D é um paralelogramo.

As diagonais de um n-paralelepípedo intersectam-se num ponto e são bisectadas pelo mesmo ponto. Uma Inversão neste ponto mantém o n-paralelepípedo inalterado. Veja o conceito de pontos fixos em grupos isométricos nos espaços euclidianos.