Paralelepípedo

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Um Paralelepípedo mostrando as arestas

Paralelepípedo ou bloco retangular é a designação dada a um prisma cujas faces são paralelogramos.[1] [2] Um paralelepípedo tem seis faces, sendo que duas são idênticas e paralelas entre si.[3] Os paralelepípedos podem ser retos ou oblíquos, consoante as suas faces laterais sejam perpendiculares ou não à base.[4]

Definição[editar | editar código-fonte]

Em geometria, um 'paralelepípedo' é uma forma tridimensional cujas 6 faces são paralelogramos. O paralelepípedo pode ser definido de três formas distintas:

  • É um prisma cuja base é um paralelogramo;
  • É um hexaedro do qual cada face é um paralelogramo;
  • É um hexaedro com três pares de faces paralelas.

Os paralelepípedos constituem uma subclasse dos prismatoides.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cada um dos três pares de faces paralelas do paralelepípedo pode ser considerado como a base, já que o prisma tem três conjuntos de quatro arestas paralelas, as quais, em cada conjunto, têm o mesmo comprimento.

O paralelepípedo pode ser encarado como o resultado da transformação linear de um cubo.

Volume[editar | editar código-fonte]

O volume de um paralelepípedo é o produto da área da sua base pela altura. Para este efeito a base pode ser qualquer das faces, sendo a altura medida perpendicularmente ao plano que contém a base. Por outro lado, se os vetores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) representarem as três arestas que se encontrem num vértice, então o volume do paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto triplo escalar a · (b × c), ou, o que é equivalente, ao valor absoluto do determinante:

 \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & b_1 & c_1 \\
        a_2 & b_2 & c_2 \\
        a_3 & b_3 & c_3
 \end{bmatrix} \right|.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Para paralelepípedos com um plano de simetria existem dois casos:

  • Têm quatro faces retangulares;
  • Têm duas faces rômbicas, e das restantes, cada duas faces adjacentes são iguais (os dois pares são imagens invertidas entre si). Veja monoclínico.
  • Um cuboide é um paralelepípedo onde todas as faces são retangulares.
  • Um romboedro é um paralelepípedo com faces rômbicas congruentes entre si.
  • Um cubo é um paralelepípedo com ambas as propriedades anteriores, isto é cujas faces são quadrados.

O paralelepípedo em espaços[editar | editar código-fonte]

A designação paralelepípedo é também usada para formas análogas em espaços geométricos com mais de três dimensões.

A designação paralelepípedo, sem qualquer qualificativo, refere-se em geral à forma num espaço tridimensional, o percebido por nós. Num espaço n-dimensional, é comum usar-se a designação paralelepípedo n-dimensional, ou simplesmente n-paralelepípedo. Em 1D o análogo ao paralelepípedo é um intervalo, em 2D é um paralelogramo.

As diagonais de um n-paralelepípedo intersectam-se num ponto e são bissectadas pelo mesmo ponto. Uma Inversão neste ponto mantém o n-paralelepípedo inalterado. Veja o conceito de pontos fixos em grupos isométricos nos espaços euclidianos.

Referências

  1. Bayer, Arno; Luiza Batista, Maria. Matemática: Tópicos Básicos. Editora da ULBRA. pp. 45.
  2. Desenvolvimento de charpas. Hemus. ISBN 8528903923
  3. Villas, Alberto. Pequeno dicionário brasileiro da língua morta. Globo Livros, 2013. ISBN 8525051721
  4. de Freitas, Valdemar. Anatomia: Conceitos e Fundamentos. Artmed. pp. 41. ISBN 8536318597