Tetraedro

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Tetraedro

O tetraedro é um poliedro composto por quatro faces triângulares, três delas encontrando-se em cada vértice. O tetraedro regular é um sólido platônico, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.


Fórmulas para o tetraedro regular[editar | editar código-fonte]

Em um tetraedro regular cujas arestas medem a:

Área da base A_0={\sqrt{3}\over4}a^2
Área da superfície[1] A=4\,A_0={\sqrt{3}}a^2
Altura [2] H={\sqrt{6}\over3}a
Volume[1] V={1\over3} A_0h ={\sqrt{2}\over12}a^3
Ângulo entre uma aresta e uma face \arccos\left({1 \over \sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{2})
(aproximadamente 54.7356°)
Ângulo entre duas faces[1] \arccos\left({1 \over 3}\right) = \arctan(2\sqrt{2})
(aproximadamente 70.5288°)
Ângulo entre os segmentos que unem o centro e os vértices,[3] também conhecido como ângulo tetraédrico \arccos\left ({-1\over3}\right ) = 2\arctan(\sqrt{2})
(aproximadamente 109.4691°)
Ângulo sólido em um vértice subentendido por uma face  \arccos\left ({23\over27}\right )
(aproximadamente 0.55129 esferorradianos)
Raio da esfera circunscrita[1] R=\sqrt{{3\over8}}\,a
Raio da esfera inscrita que é tangente às faces[1] r={1\over3}R={a\over\sqrt{24}}
Raio da esfera tangente a todas as arestas[1] r_M=\sqrt{rR}={a\over\sqrt{8}}
Raio das exoesferas r_E={a\over\sqrt{6}}
Distância de um vértice ao centro da exosfera \sqrt{{3\over2}}\,a

Dual[editar | editar código-fonte]

O Poliedro dual do tetraedro é outro tetraedro..

Duality of tetrahedron.png

Planificação[editar | editar código-fonte]

planificação de um tetraedro Tetrahedron flat.svg

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A razão entre o raio da esfera circunscrita no tetraedro e a esfera inscrita é de 3:1.[4]

É o sólido regular que possui a máxima superfície para o mesmo volume.[5]

Tetraedro na natureza[editar | editar código-fonte]

Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica.

Estrutura da molécula de metano

Um pseudocientista inglês,[carece de fontes?] William Lowthian Green, propôs, em 1875, que a Terra, quando estava esfriando, tendeu a assumir a forma de um tetraedro, com quatro vértices projetando-se para fora, dando origem aos continentes, e quatro faces projetando-se para dentro, dando origem aos oceanos.[5] Théophile Moreux citou esta hipótese no seu livro Astronomy To-day, mencionando como os quatro vértices seriam as massa da Escandinávia, Sibéria, Canadá e Antártida, opondo-se aos oceanos, Atlântico Sul, Índico, Pacífico e Ártico.[5]

Mitologia[editar | editar código-fonte]

De acordo com Kepler, o tetraedro é o segundo, contando de fora para dentro, dos cinco sólidos que os platonistas diziam ser as figuras do mundo; a ordem seria do cubo (o mais externo), seguido do tetraedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro.[4] Enquanto o cubo e o dodecaedro são masculinos, e o octaedro e icosaedro femininos, o tetraedro é hermafrodita, porque ele é inscrito nele mesmo.[4]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes (Methuen and Co., 1948). Table I(i).
  2. http://www.mathematische-basteleien.de/tetrahedron.htm
  3. "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron" – Maze5.net
  4. a b c Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1. Sobre as cinco figuras sólidas regulares [em linha]
  5. a b c Edna Kenton, The Book of Earths (1928), Tetrahedron Earth [em linha]
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