Sólido platónico

Na geometria e algumas antigas teorias físicas, um solido platônico é um poliedro convexo com:

• Todas as faces são polígonos congruentes
• O mesmo número de arestas encontra-se em todos os vértices

Os cinco sólidos platónicos são conhecidos desde a antiguidade clássica e a prova que são os únicos poliedros regulares pode ser encontrada nos Elementos de Euclides.

Tabela

Nome	Imagens	Faces	Arestas	Vértices	Vértices por face	Encontros de faces em cada vértice	Configuração vértices	Grupo de Simetria
tetraedro		4	6	4	3	3	3.3.3	Td
cubo (hexaedro)		6	12	8	4	3	4.4.4	Oh
octaedro		8	12	6	3	4	3.3.3.3	Oh
dodecaedro		12	30	20	5	3	5.5.5	Ih
icosaedro		20	30	12	3	5	3.3.3.3.3	Ih

Relação de Euler em poliedros regulares

Como em todos os sólidos convexos, nos sólidos platônicos também se cumpre a relação:

F + V – A = 2 ou F + V = A + 2

onde: V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

Operações sobre Sólidos Platônicos

Poliedros duais

Dual tetraedro

O Poliedro dual de um Sólido Platónico é outro Sólido Platónico.

• O dual do tetraedro é um tetraedro
• O dual do octaedro é um cubo, e vice versa.
• O dual do dodecaedro é um icosaedro, e vice versa.

Truncatura

Truncando sólidos platónicos obtêm-se onze dos treze Sólidos de Arquimedes:

O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.

Snubificação

Por snubificação de sólidos platónicos são obtidos dois Sólidos de Arquimedes:

O Cubo snub e o Dodecaedro snub.

Poliedros platónicos inscritos

Quando um sólido platónico é inscrito numa esfera, ocupa a seguinte percentagem do volume da esfera:

• Tetraedro: 12.2518%
• Cubo: 36.7553%
• Octaedro: 31.8310%
• Dodecaedro: 66.4909%
• Icosaedro: 60.5461%

Propriedades métricas dos sólidos platônicos

A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades métricas dos sólidos platónicos.

Seja d a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em função de d os raios r, R, ρ, respectivamente da esfera inscrita, circunscrita e tangente à aresta. Também a área S da superfície e o volume V. Das fórmulas da tabela podemos deduzir as inversas.

Nome	r	R	ρ	S	V
Tetraedro	$\frac{\sqrt{6}}{12}d$	$\frac{\sqrt{6}}{4}d$	$\frac{\sqrt{2}}{4}d$	$\sqrt{3}d^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}d^3$
Cubo ou Hexaedro	$\frac{1}{2}d$	$\frac{\sqrt{3}}{2}d$	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$6d^2$	$d^3$
Octaedro	$\frac{\sqrt{6}}{6}d$	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$\frac{1}{2}d$	$2\sqrt{3}d^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3}d^3$
Dodecaedro	$\frac{1}{20}\sqrt{(10(25+11\sqrt{5})}d$	$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5}) d$	$\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})d$	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}d^2$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})d^3$
Icosaedro	$\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})d$	$\frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d$	$\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})d$	$5\sqrt{3}d^2$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})d^3$

Ligações externas

• Pequena Enciclopédia Interativa dos Sólidos Platônicos