Sólido platónico

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Um solido platônico, na geometria, é um poliedro convexo com:

  • Todas as faces são polígonos congruentes
  • O mesmo número de arestas encontra-se em todos os vértices

Os cinco sólidos platónicos são descritos no décimo-terceiro livro de Os Elementos, de Euclides, e são assim chamados pois foram estudados pela escola de Platão.[1]

Tabela[editar | editar código-fonte]

Nome Imagens Faces Arestas Vértices Vértices
por face
Encontros de faces
em cada vértice
Configuração
vértices
Grupo de Simetria
tetraedro Tetraedro 4 6 4 3 3 3.3.3 Td
cubo (hexaedro) Hexahedron (cube) 6 12 8 4 3 4.4.4 Oh
octaedro Octahedron
8 12 6 3 4 3.3.3.3 Oh
dodecaedro Dodecahedron 12 30 20 5 3 5.5.5 Ih
icosaedro Icosahedron 20 30 12 3 5 3.3.3.3.3 Ih

Relação de Euler em poliedros regulares[editar | editar código-fonte]

Como em todos os sólidos convexos, nos sólidos platônicos também se cumpre a relação:

F + V – A = 2 ou F + V = A + 2

onde: V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

Operações sobre Sólidos Platônicos[editar | editar código-fonte]

Poliedros duais[editar | editar código-fonte]

Dual tetraedro

O Poliedro dual de um Sólido Platónico é outro Sólido Platónico.

  • O dual do tetraedro é um tetraedro
  • O dual do octaedro é um cubo, e vice versa.
  • O dual do dodecaedro é um icosaedro, e vice versa.

Dualcube.png Dualoctaedre.png Dualdodecaedre.png Dualicosaedre.png

Truncatura[editar | editar código-fonte]

Truncando sólidos platónicos obtêm-se onze dos treze Sólidos de Arquimedes:

O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.

Snubificação[editar | editar código-fonte]

Por snubificação de sólidos platónicos são obtidos dois Sólidos de Arquimedes:

O Cubo snub e o Dodecaedro snub.

Poliedros platónicos inscritos[editar | editar código-fonte]

Quando um sólido platónico é inscrito numa esfera, ocupa a seguinte percentagem do volume da esfera:

  • Tetraedro: 12.2518%
  • Cubo: 36.7553%
  • Octaedro: 31.8310%
  • Dodecaedro: 66.4909%
  • Icosaedro: 60.5461%

Propriedades métricas dos sólidos platônicos[editar | editar código-fonte]

A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades métricas dos sólidos platónicos.

Seja d a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em função de d os raios r, R, ρ, respectivamente da esfera inscrita, circunscrita e tangente à aresta. Também a área S da superfície e o volume V. Das fórmulas da tabela podemos deduzir as inversas.

Nome r R ρ S V
Tetraedro \frac{\sqrt{6}}{12}d \frac{\sqrt{6}}{4}d \frac{\sqrt{2}}{4}d \sqrt{3}d^2 \frac{\sqrt{2}}{12}d^3
Cubo ou Hexaedro \frac{1}{2}d \frac{\sqrt{3}}{2}d \frac{\sqrt{2}}{2}d 6d^2 d^3
Octaedro \frac{\sqrt{6}}{6}d \frac{\sqrt{2}}{2}d \frac{1}{2}d 2\sqrt{3}d^2 \frac{\sqrt{2}}{3}d^3
Dodecaedro \frac{1}{20}\sqrt{(10(25+11\sqrt{5})}d \frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5}) d \frac{1}{4}(3+\sqrt{5})d 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}d^2 \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})d^3
Icosaedro \frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})d \frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d \frac{1}{4}(1+\sqrt{5})d 5\sqrt{3}d^2 \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})d^3

Referências

  1. James Elmes, A general and bibliographical dictionary of the fine arts (1824), Geometry, p.375 [google books]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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