Trigonometria esférica

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Triângulo esférico tri-retângulo (seus ângulos somam 270°).

Em matemática, a trigonometria esférica estuda as propriedades geométricas dos triângulos esféricos, em especial as relações que envolvem ângulos esféricos e arcos esféricos. É a área da geometria esférica que estuda os polígonos que se formam sobre a superfície das esferas, em especial, os triângulos. O estudo de trigonometria esférica tem especial relevância em náutica e navegação para determinar a posição de uma embarcação em alto-mar mediante a observação dos corpos celestes além de emprego na área ‘’design’’ de bola esportivas.

A esfera[editar | editar código-fonte]

Uma esfera E, de centro no ponto (a,b,c) e raio k, é domínio de R³ definido por todos pontos no espaço tridimensional que cumprem com a seguinte definição:

E = \{\ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = k^2\}

Círculo máximo[editar | editar código-fonte]

Distância ortodromia entre dois pontos ao largo de um círculo máximo sobre a superfície de uma esfera.

A intersecção de uma esfera com um plano que contenha seu centro gera um círculo máximo e uma circunferência máxima sobre a superfície da esfera. Um círculo máximo divide a esfera em dois hemisférios iguais. A distância entre dois pontos da superfície da esfera, unidos por um arco de círculo máximo, é a menor entre eles, e denomina-se distancia ortodrômica. Como exemplos de círculos máximos, temos na superfície terrestre os meridianos como a linha do equador.

Volume e superfície das esferas[editar | editar código-fonte]

O volume de uma esfera é o volume de revolução produzida por um semi círculo que gira ao redor do diâmetro. Segundo esta definição, se o seu raio é r, seu volume será:


\!V = \frac{4}{3}\pi r^3

A superfície é a superfície lateral de um corpo de revolução e será dada por:


\!A = 4\pi r^2

Domínio sobre a superfície esférica[editar | editar código-fonte]

Um domínio de superfície esférica é uma área sobre a superfície da esfera, limitado pela curvas dessa superfície.

Triângulo esférico[editar | editar código-fonte]

Triângulo esférico.

Se três pontos da superfície esférica são unidos por arcos de círculo máximo, menores que 180º, a figura obtida denomina-se triângulo esférico. Os lados do polígono assim formado se expressam por conveniência como ângulos cujos vértices são o centro da esfera e não por sua longitude. Este arco medido em radianos e multiplicado pelo raio da esfera é a longitude do arco. Em um triângulo esférico os ângulos cumprem que: 180° < \alpha\! + \beta\! + \gamma\! < 540°

Fórmulas fundamentais[editar | editar código-fonte]

\alpha\!: ângulo formado entre os arcos AC e AB

\beta\!: ângulo formado entre os arcos AB e BC

\gamma\!: ângulo formado entre os arcos AC e BC

Fórmula do cosseno[editar | editar código-fonte]

\cos CB= \cos AC\; \cos AB + {\rm{sen}} AC\;  {\rm{sen}}AB\; \cos \alpha \!

Fórmula do seno[editar | editar código-fonte]

\frac{{\rm{sen}} CB}{{\rm{sen}}\alpha}=\frac{{\rm{sen}} AC}{{\rm{sen}}\beta}=\frac{{\rm{sen}} AB}{{\rm{sen}}\gamma}

Os senos dos lados são proporcionais a os senos dos ângulos opostos.

Fórmula da cotangente[editar | editar código-fonte]

A fórmula da cotangente também se denomina fórmula de elementos consecutivos. Ver na figura os seguintes elementos consecutivos:

ângulo \alpha\!; lado  AB ; ângulo \beta\!; lado  BC .

\cos \beta \cos AB = - {\rm{sen}} \beta \cot \alpha\! + {\rm{sen}} AB \cot CB

Cosseno dos elementos centrais é igual a: menos seno do ângulo médio pela cotangente do outro ângulo.

Fórmula de Bessel[editar | editar código-fonte]

Das fórmulas dos cossenos, obtendo a seção posterior, pode-se obter de imediato um conjunto de varias fórmulas conhecidas como "relações de seno por cosseno" ou também denominadas Fórmulas de Bessel, especialmente a terceira fórmula de Bessel. Foram deduzidas pela primeira vez pelo matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Westfalia, Alemanha, 1784-Kaliningrado, Rússia, 1846).

cos( a / k ) = cos( b / k )• cos( c / k ) + sen( b / k )• sen( c / k) • cos( A )

cos( b / k ) = cos( c / k )• cos( a / k ) + sen( c / k )• sen( a / k )• cos( B )

cos( c / k ) = cos( a / k )• cos( b / k ) + sen( a / k )• sen( b / k )• cos( C )

O conjunto das fórmulas de Bessel pode descrever para a esfera de raio unitário, isto é, a esfera trigonométrica, da forma:

  • sen c • cos B = cos b • sen a - cos a • sen b • cos C
  • sen c • cos A = cos a • sen b - cos b • sen a • cos C
  • sen b • cos A = cos a • sen c - cos c • sen a • cos B
  • sen b • cos C = cos c • sen a - cos a • sen c • cos B
  • sen a • cos B = cos b • sen c - cos c • sen b • cos A
  • sen a • cos C = cos c • sen b - cos b • sen c • cos A

Matrizes das fórmulas de um triângulo esférico[editar | editar código-fonte]

O conjunto das fórmulas do seno, do cosseno (conhecido por alguns como segunda e primeira fórmula de Bessel), e a tercei fórmula de Bessel, podem ser expressas da seguinte forma matricial:

\begin{vmatrix} cos(a) \\ sen(a) sen(B) \\  sen(a) cos(B) \end{vmatrix} 
=
\begin{vmatrix} cos(c) & 0 & sen(c) \\ 0 & 1 & 0 \\ sen(c) & 0 & -cos(c) \end{vmatrix} 
.
\begin{vmatrix} cos(b) \\ sen(b) sen(A) \\  sen(b) cos(A) \end{vmatrix}

sendo a, b y c os lados; y A, B y C os ângulos do triângulo esférico.

triângulo esférico retângulo[editar | editar código-fonte]

O triângulo esférico com pelo menos um ângulo reto se denomina triângulo retângulo. Em um triângulo esférico seus três ângulos podem ser retos, em cujo caso, a soma é 270°. Em todos os outros casos essa soma excede os 180° e a esse excesso se denomina excesso esférico; se expressa pela fórmula: E: E = \alpha\!+\beta\!+\gamma\! - 180°.

Qualquer triângulo esférico pode descompor-se em dois triângulos esféricos retângulos.

Pentágono de Napier[editar | editar código-fonte]

Pentágono de Napier.

O pentágono de Napier é uma regra mnemónica para resolver triângulos esféricos retângulos; tem esse nome em memória do cientista inglês John Napier, e se constrói da seguinte forma:

Coloca-se em cada setor circular: cateto - ângulo - cateto - ângulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecem ordenados no triângulo, exceto o ângulo reto C.

Se assinalam os ângulos B, A, e a hipotenusa c por seus complementares:

B por (90° - B)
A por (90° - A)
c por (90° - c)

Estabelecem-se as seguintes regras:

  • O seno de um elemento é igual o produto das tangentes dos elementos adjacentes:
seno(a) = tg(b) tg(90° - B), ou seu equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)
  • O seno de um elemento é igual ao produto dos cosenos dos elementos opostos:
seno(a) = cosseno(90° - A) cosseno(90° - c), ou seu equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad de Cádiz. (em espanhol)
  • Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina). (em espanhol)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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