Polígono

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Um polígono.

Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polúgonos" que significa ter muitos lados ou ângulos.[1] A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que estas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.[2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal[editar | editar código-fonte]

Linha poligonal aberta não-simples

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal A_1 A_2 A_3 \cdots A_{n-1}A_n corresponde a reunião dos segmentos \overline{A_1 A_2}, \overline{A_2 A_3}, ..., \overline{A_{n-1} A_n}.[carece de fontes?]

Classificação[editar | editar código-fonte]

Uma linha poligonal A_1 A_2 A_3 \cdots A_{n-1}A_n é classificada em:

  • aberta - quando os extremos A_1 e A_n não coincidem;
  • fechada - quando os extremos A_1 e A_n coincidem;
  • simples - quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia;
  • não-simples - quando não é simples.

Polígono[editar | editar código-fonte]

Um polígono A_1 A_2 A_3 \cdots A_{n-1}A_{n}. As linhas tracejadas indicam os vários segmentos que o polígono pode ter.

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono A_1 A_2 A_3 \cdots A_{n-1}A_n corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos \overline{A_1 A_2}, \overline{A_2 A_3}, ..., \overline{A_{n-1} A_n} e \overline{A_n A_1}.[3]

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.[3]

Elementos[editar | editar código-fonte]

Um polígono A_1 A_2 A_3 \cdots A_{n-1}A_n possui os seguintes elementos:[3]

  • vértice - extremo de um dos segmentos que formam o polígono, i.e. são vértices os pontos A_1, A_2, A_3, ..., A_n;
  • lado - segmento que forma o polígono, i.e. são lados os segmentos \overline{A_1 A_2}, \overline{A_2 A_3}, ..., \overline{A_{n-1} A_n} e \overline{A_n A_1};
  • diagonais - segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos;
  • ângulo (interno) - ângulo formado por dois lados consecutivos, i.e. os ângulos \hat{A}_1 = A_n \hat{A}_1 A_2 , \hat{A}_2 = A_1 \hat{A}_2 A_3 , ..., \hat{A}_n = A_{n-1} \hat{A}_n A_1 ;
  • ângulo externo - ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno.
Pentagono regular e seus elementos.svg

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O polígono ABCDE na figura ao lado possui:

  • vértices A, B, C, D, E ;
  • lados  \overline{A B},  \overline{B C},  \overline{C D},  \overline{D E} e  \overline{E A};
  • ângulos internos  \hat a,  \hat b,  \hat c,  \hat d,  \hat e;
  • diagonais \overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE}, \overline{CE} e \overline{CA};
  • ângulos externos  \hat{a}_1,  \hat{b}_1,  \hat{c}_1,,  \hat{d}_1 e  \hat{e}_1 .

Perímetro e Área[editar | editar código-fonte]

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Diferentes tipos de polígonos

Quanto à linha poligonal[editar | editar código-fonte]

Um polígono A_1 A_2 A_3 \cdots A_{n-1}A_n é classificado em:[3]

  • simples - quando sua linha poligonal associada é simples;
  • não-simples (ou complexo) - quando sua linha poligonal associada é não-simples;

Quanto à região poligonal[editar | editar código-fonte]

Convexidade[editar | editar código-fonte]

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Uma polígono não convexo é dito ser côncavo.[3]

Tipos de não-convexidade[carece de fontes?][editar | editar código-fonte]

Pode-se caracterizar os polígonos de acordo com o tipo de não-convexidade. Um polígono é dito ser:

  • Estrelado
    • Falso: pela sobreposição de polígonos;
    • Verdadeiro: formado por linhas poligonais fechadas não-simples;
  • Entrecruzado: aquele em que o prolongamento dos lados ajuda a formar outro polígono.

Quanto à congruência[editar | editar código-fonte]

Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

Quanto ao número de lados[editar | editar código-fonte]

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de n lados é chamado de n-látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:[3]

Nomes dos polígonos
Lados Nome Lados Nome Lados Nome
1 não existe 11 undecágono ... ...
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono
5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono
6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono
7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono
8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono
9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono
10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados[editar | editar código-fonte]

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:[carece de fontes?]

Dezenas e Unidades sufixo
-kai- 1 hena- -gono
20 icosa- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 eneaconta- 9 -enea-
Exemplo 1

Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -kai- -di- -gono tetracontakaidigono


Exemplo 2

Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta-   -gono pentacontagono

Nomenclatura alternativa[editar | editar código-fonte]

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como os seguintes:[carece de fontes?]

Lados Nome
22 docoságono
25 pentacoságono
1000 quilógono
1.000.000 megágono
109 gigágono
10100 googólgono


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono.[3] Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

Vértices e lados[editar | editar código-fonte]

O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

Diagonais[editar | editar código-fonte]

  • De cada vértice de um polígono de n lados, saem n-3 diagonais.

Com efeito, um polígono de n lados têm n vértices. De um dado vértice formamos n-1 segmentos de reta com cada um dos outros n-1 vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem n-3 diagonais.


  • O número de diagonais d de um polígono n-látero é:
d = \frac{n(n-3)}{2}.

Com efeito, a combinação de seus n vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número, n são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.:

d = C^n_s - n = \frac{n!}{2!(n-2)!} - n = \frac{n(n-1)}{2} - n =  \frac{n(n-3)}{2}.


  • Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n-2.

De fato, n-3 diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono, n-2 triângulos.

Ângulos[editar | editar código-fonte]

  • A soma das medidas dos ângulos internos S_i de um polígono convexo de n lados é dada por:
S_i = (n-2)\cdot 180^\circ

Com efeito, as diagonais que partem de um dado vértice formam n-2 triângulos. Observamos que S_i é igual a soma dos ângulos internos destes n-2 triângulos, i.e. S_i = (n-2)\cdot 180^\circ.


  • A soma das medidas dos ângulos externos S_e de um polígono convexo de n lados é igual a 360^\circ.

Com efeito, sejam \hat{a}_i e \hat{b}_i os respectivos ângulos interno e externo do i-ésimo vértice de um polígono n-látero. Por definição, temos \hat{a}_i + \hat{b}_i = 180^\circ para todo i = 1,\ldots, n. Daí, segue que:

180^\circ n = \sum_{i=1}^n \hat{a}_i + \hat{b}_i = S_i + S_e = 180^\circ (n-2) + S_e

donde, vemos que S_e = 360^\circ.


  • A medida do ângulo interno \hat{a}_i de um polígono regular de n lados é dada por:
\hat{a}_i = \frac{(n-2). 180^\circ}{n}


  • A medida do ângulo externo a_e de um polígono regular de n lados é dada por:
a_e = \frac{360^\circ}{n}.


  • A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (S_c) é igual a 360^\circ.


  • A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (a_c) é dada por:
a_c = \frac{360^\circ}{n}.

Mitologia[editar | editar código-fonte]

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.[4]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Dicionário Priberam da Língua Portuguesa: polígono Priberam Informática. Visitado em 03/12/2014.
  2. Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
  3. a b c d e f g Dolce, O.. Fundamentos de Matemática Elementar. 9. ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535716863.
  4. Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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