Polígono

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Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada: por exemplo, o hexágono é um polígono de seis lados.

A palavra "polígono" vem do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).

A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que estas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.[1]

Em um polígono podemos dizer que o numero de arestas mais dois é igual ao numero de vértices mais

o número de faces, representada pela expressão de Euler. A+2 = V + F

Linhas poligonais e polígonos[editar | editar código-fonte]

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal aberta simples
Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (arestas ou lados), cujos vértices são formados por duas arestas. Um polígono simples divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), isto é, bidimensional (eixo do "X" e do "Y"), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.

Elementos de um polígono[editar | editar código-fonte]

Um polígono possui os seguintes elementos:

Pentagono regular e seus elementos.svg
Lados
Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:
 \overline{A B},  \overline{B C},  \overline{C D},  \overline{D E},  \overline{E A}.
Vértices
Ponto de encontro dos segmentos:
A, B, C, D, E.
Diagonais
Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
 \overline{A C},  \overline{A D},  \overline{B D},  \overline{B E},  \overline{C E}.
Ângulos internos
Ângulos formados por dois lados consecutivos:
 \hat a,  \hat b,  \hat c,  \hat d,  \hat e
Ângulos externos
Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:
 \hat a_1,  \hat b_1,  \hat c_1,  \hat d_1,  \hat e_1.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Diferentes tipos de polígonos

Quanto ao número de lados[editar | editar código-fonte]

Os polígonos são classificados principalmente pelo número de lados, consulte a nomenclatura dos polígonos mais adiante.

Convexidade e tipos de não-convexidade[editar | editar código-fonte]

Pode-se caracterizar os polígonos de acordo com a sua convexidade ou o tipo de não-convexidade:

  • Estrelado: formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
    • Falso: Pela sobreposição de Polígonos
    • Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
  • Entrecruzado: aquele em que o prolongamento dos lados ajuda a formar outro polígono.

Simetria[editar | editar código-fonte]

  • Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Ângulos[editar | editar código-fonte]

  • O número de vértices é igual ao número de lados.
  • A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (S_i) é dada por (n-2). 180^\circ.
  • A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (S_e) é igual a 360^\circ.
  • A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (a_i) é dada por \frac{(n-2). 180^\circ}{n}.
  • A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (a_e) é dada por \frac{360^\circ}{n}.
  • A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (S_c) é igual a 360^\circ.
  • A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (a_c) é dada por \frac{360^\circ}{n}.

Outras[editar | editar código-fonte]

  • De cada vértice de um polígono de n lados, saem n-3 diagonais (d_v).
  • O número de diagonais (d) de um polígono é dado por d = \frac{n(n-3)}{2}, onde n é o número de lados do polígono.
  • Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n-2.

Nomenclatura dos polígonos[editar | editar código-fonte]

Nomes dos polígonos
Lados Nome Lados Nome Lados Nome
1 não existe 11 undecágono ... ...
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono
5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono
6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono
7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono
8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono
9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono
10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados[editar | editar código-fonte]

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Dezenas e Unidades sufixo
-kai- 1 hena- -gono
20 icosa- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 eneaconta- 9 -enea-

Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -kai- -di- -gono tetracontakaidigono

e um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta-   -gono pentacontagono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como os seguintes:

Lados Nome
22 docoságono
25 pentacoságono
1000 quilógono
1.000.000 megágono
109 gigágono
10100 googólgono

Mitologia[editar | editar código-fonte]

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • Poliedro, a generalização para 3 dimensões

Referências

  1. Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
  2. Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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