Combinação (matemática)

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Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, é um subconjunto com s\,\! elementos em um conjunto \mathbb{U}\,\!, com n\,\! elementos. Como é um conjunto, não há repetição de membros dentro do conjunto.

O número de subconjuntos de s\,\! elementos diferentes de um conjunto de n\,\! elementos diferentes pode ser representado por: C^n_s\,\!, \begin{matrix}{{n}\choose{s}}\end{matrix}\,\!, {}^nC_s\,\! ou {C}{\left(n,s\right)}\,\!.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • C_{3,2}\, indica de quantas formas distintas é possível escolher 2 elementos de um grupo de 3 elementos, digamos as 3 primeiras letras do alfabeto: {a,b,c}. As três possíveis combinações são:
ab, ac, bc. Note que em uma combinação não estamos interessados na ordenação dos elementos, uma vez que estamos tratando de um subconjunto do conjunto inicial. desta maneira ab e ba representam um mesmo conjunto.
  • A combinação C_{4,2}\, indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 4, digamos as quatro primeiras letras do alfabeto: {a,b,c,d}. As seis possíveis combinações são:
ab, ac, ad, bc, bd, cd


Aplicando a formula abaixo ao exemplo acima temos: \frac{\left(4\cdot3\cdot2\cdot1\right)}{\left(2\cdot1\right)\cdot\left(2\cdot1\right)}=\frac{24}{4}=6 combinações diferentes

Fórmula[editar | editar código-fonte]

A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

C^n_s={n\choose s} =\frac{n!}{s!\cdot\left(n-s\right)!}\,\!

Então: {n\choose s}={n\choose n-s}

Dedução[editar | editar código-fonte]

O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com s\,\! elementos de n\,\!, é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de s\,\! elementos de n\,\! existem.

A^n_s=\frac{n!}{\left(n-s\right)!}\,\!

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os s\,\! elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os s\,\! elementos podem ser arranjados.

A^s_s=s!\,\!

Sabendo o número de arranjos possíveis com s\,\! elementos de n\,\!, e o número de vezes que cada combinação com s\,\! elementos de n\,\! se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

C^n_s=\frac{\frac{n!}{\left(n-s\right)!}}{s!}\,\!

Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:

C^n_s=\frac{n!}{s!\cdot\left(n-s\right)!}\,\!

Triângulo de Pascal[editar | editar código-fonte]

No Triângulo de Pascal, é possível encontar-se o valor de C^n_s\,\! sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, s\,\! é o número da coluna e n\,\!, da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton.

Regras[editar | editar código-fonte]

Uma combinação C^n_s\,\! só é possível quando 0<n\,\! e 0<{s}\le{n}\,\!.

Veja também[editar | editar código-fonte]