Combinação (matemática)

 Nota: Para outros significados de combinação, veja Combinação.

Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, é um subconjunto com $s\,\!$ elementos em um conjunto $\mathbb{U}\,\!$, com $n\,\!$ elementos. Como é um conjunto, não há repetição de membros dentro do conjunto.

O número de subconjuntos de $s\,\!$ elementos diferentes de um conjunto de $n\,\!$ elementos diferentes pode ser representado por: $C^n_s\,\!$, $\begin{matrix}{{n}\choose{s}}\end{matrix}\,\!$, ${}^nC_s\,\!$ ou ${C}{\left(n,s\right)}\,\!$.

Exemplos

• $C_{3,2}\,$ indica de quantas formas distintas é possível escolher 2 elementos de um grupo de 3 elementos, digamos as 3 primeiras letras do alfabeto: {a,b,c}. As três possíveis combinações são:

ab, ac, bc. Note que em uma combinação não estamos interessados na ordenação dos elementos, uma vez que estamos tratando de um subconjunto do conjunto inicial. desta maneira ab e ba representam um mesmo conjunto.

• A combinação $C_{4,2}\,$ indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 4, digamos as quatro primeiras letras do alfabeto: {a,b,c,d}. As seis possíveis combinações são:

ab, ac, ad, bc, bd, cd

Aplicando a formula abaixo ao exemplo acima temos: $\frac{\left(4\cdot3\cdot2\cdot1\right)}{\left(2\cdot1\right)\cdot\left(2\cdot1\right)}=\frac{24}{4}=6$ combinações diferentes

Fórmula

A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

$C^n_s={n\choose s} =\frac{n!}{s!\cdot\left(n-s\right)!}\,\!$

Então: ${n\choose s}={n\choose n-s}$

Dedução

O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com $s\,\!$ elementos de $n\,\!$, é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de $s\,\!$ elementos de $n\,\!$ existem.

$A^n_s=\frac{n!}{\left(n-s\right)!}\,\!$

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os $s\,\!$ elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os $s\,\!$ elementos podem ser arranjados.

$A^s_s=s!\,\!$

Sabendo o número de arranjos possíveis com $s\,\!$ elementos de $n\,\!$, e o número de vezes que cada combinação com $s\,\!$ elementos de $n\,\!$ se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

$C^n_s=\frac{\frac{n!}{\left(n-s\right)!}}{s!}\,\!$

Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:

$C^n_s=\frac{n!}{s!\cdot\left(n-s\right)!}\,\!$

Triângulo de Pascal

No Triângulo de Pascal, é possível encontar-se o valor de $C^n_s\,\!$ sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, $s\,\!$ é o número da coluna e $n\,\!$, da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton.

Regras

Uma combinação $C^n_s\,\!$ só é possível quando $0<n\,\!$ e $0<{s}\le{n}\,\!$.

Veja também

• Permutação
• Arranjo