Triângulo de Pascal

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O triângulo de Yang Hui.

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em França, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais \begin{matrix} {n\choose k} \end{matrix}, onde n representa o número da linha (posição horizontal) e k representa o número da coluna (posição vertical), iniciando a contagem a partir do zero.[1] O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal. O triângulo também pode ser representado:

0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6
2 1 3 6 10 15
3 1 4 10 20
4 1 5 15
5 1 6
6 1

Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por tmn. Então tmn = tm-1,n + tm,n-1, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são tm, −1 = 0, t−1, n para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t00 = 1. Pascal conclui com a prova,

t_{mn} = \frac{(m+n)(m+n-1)...(m+1)}{n(n-1)...1}.\

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Relação de Stifel[editar | editar código-fonte]

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima. {n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}


\begin{matrix}
&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}\\
\mathbf{0}&1&&&&&\\
\mathbf{1}&1&1&&&&\\
\mathbf{2}&1&2&1&&&\\
\mathbf{3}&1&3&3&1&&\\
\mathbf{4}&1&4&\underline{\overline{6}}&\underline{\overline{4}}&1&\\
\mathbf{5}&1&5&10&\underline{\overline{10}}&5&1\\
\end{matrix}

Portanto:

\begin{matrix}{4\choose 2}&+&{4\choose 3}&=&{5\choose 3}\\
&&&&\\
6&+&4&=&10\end{matrix}

Soma de uma Linha[editar | editar código-fonte]

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a 2^n.


\begin{matrix}
&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{2^{n}}\\
\mathbf{0}&1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf{1}&1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\
\mathbf{2}&1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\
\mathbf{4}&1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\
\mathbf{5}&1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\
\mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64}
\end{matrix}

Soma de uma Coluna[editar | editar código-fonte]

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação {n\choose n}+{n+1\choose n}+...+{n+k\choose n}={n+k+1\choose n+1}.


\begin{matrix}
&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\
\mathbf{0}&1&&&&&&\\\mathbf{1}&1&\underline{\overline{1}}&&&&&\\
\mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\
\mathbf{3}&1&\underline{\overline{3}}&3&1&&&\\
\mathbf{4}&1&\underline{\overline{4}}&6&4&1&&\\
\mathbf{5}&1&5&\underline{\overline{10}}&10&5&1&\\
\mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1
\end{matrix}

Portanto: \begin{matrix}
{1\choose 1}&+&{2\choose 1}&+&{3\choose 1}&+&{4\choose 1}&=&{5\choose 2}\\
&&&&&&&&\\
1&+&2&+&3&+&4&=&10\end{matrix}

Simetria[editar | editar código-fonte]

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

\begin{matrix}
{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}
&
{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}
&
{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}
\end{matrix}

Isso deve-se ao fato de que {n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = {n\choose n-k}

Soma de uma Diagonal[editar | editar código-fonte]

Conhecendo as fórmulas {n\choose n}+{n+1\choose n}+...+{n+k\choose n}={n+k+1\choose n+1} (Soma de uma coluna) e {n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = {n\choose n-k} (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: {n\choose 0}+{n+1\choose 1}+...+{n+k\choose k}={n+k+1\choose k}.


\begin{matrix}
&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\
\mathbf{0}&1&&&&&&\\
\mathbf{1}&\underline{\overline{1}}&1&&&&&\\
\mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\
\mathbf{3}&1&3&\underline{\overline{3}}&1&&&\\
\mathbf{4}&1&4&6&\underline{\overline{4}}&1&&\\
\mathbf{5}&1&5&10&10&\underline{\overline{5}}&1&\\
\mathbf{6}&1&6&15&20&\underline{\overline{15}}&6&1
\end{matrix}

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Kadane (2011), p. 62.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]