Conjunto convexo

Um conjunto convexo.

Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região. Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas. O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.

Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo. A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.

Um conjunto côncavo.

Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.

Ou seja:

$\forall x,y\in X,\ \forall t\in \left[0,1\right],\ (1-t)\ x+t\ y\in X\,$

Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em $\mathbb {R}$ convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).

Exemplos

• Espaços afins;
• Os sólidos platónicos;
• Os segmentos de recta;
• Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
• O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como $a_{\alpha }^{T}\leq b_{\alpha },\alpha \in I$. Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares $Ax\leq a$ para alguma matriz $A$ $m\times n$ é convexo e é chamado de poliedro;
• Uma $\varepsilon$-vizinhança $X^{\varepsilon }$ tal que $X^{\varepsilon }=\{y:inf_{x\in X}\lVert y-x\rVert \leq \varepsilon \}$
• Todas bolas, abertas ou fechadas, no $\mathbb {R} ^{n}$.

Combinação convexa

Uma combinação convexa de um conjunto de pontos $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$ é um ponto $z\in \mathbb {R} ^{m}$ que satisfaz

$$z=\sum _{j=1}^{n}t_{j}z_{j}$$

onde $t_{j}\geq 0,\sum _{j=1}^{n}t_{j}=1$

Por exemplo, para $m=2$, o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos.

Um subconjunto $S{\mbox{ de }}\mathbb {R} ^{m}$ é dito convexo se, para cada par de pontos $s\in S$, $S$ também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é, $S$ é um conjunto convexo se $S$ contém todas combinações convexas de todos seus pontos.

Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

• $X$ é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a $X$ pertence a $X$.
• Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
• Se $C$ é um conjunto convexo e $X$ é uma variável aleatória que pertence a $C$ como probabilidade $1$. Então $\mathbb {E} [X]\in C$.

Operações que preservam convexidade

• Interseção: se $C_{\alpha },\alpha \in I$ são conjuntos convexos, então ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}C_{\alpha }}$ é convexo.
• Imagem de um conjunto convexo sob uma função afim: se ${\textstyle C\in \mathbb {R} ^{n}}$ é convexo e ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ é afim, então $f{\bigl (}C{\bigr )}$ é convexa. Exemplos: se $C$ é convexo então $C+x_{0}$ (translação de $C$) e ${\textstyle \alpha C}$ (multiplicação por um escalar) são convexos.
• Imagem inversa de um conjunto convexo sob alguma função afim: se ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ é afim e $C$ é convexo então ${\textstyle f^{-1}{\bigl (}C{\bigr )}=\{x:f(x)\in C\}}$
• Projeção: a projeção de um conjunto convexo sobre alguma de suas coordenadas é um conjunto convexo: $C\in \mathbb {R} ^{m+n}$ é convexo então ${\textstyle \Pi =\{x_{1}\in \mathbb {R} ^{m}:\exists x_{2}\in \mathbb {R} ^{n},(x_{1},x_{2})\in C\}}$ é convexo.
• Soma de dois conjuntos
• Produto cartesiano de dois conjuntos

Ver também

• Conjunto absolutamente convexo
• Curvas e Superfícies convexas

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada