Espaço afim

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Em geometria, espaço afim é o espaço estudado pela geometria afim. É uma estrutura geométrica que generaliza a propriedades da geometria afim de um espaço euclidiano. Pode ser pensado informalmente como um espaço vetorial onde se esqueceu que ponto é a origem. Em um espaço afim, pode-se subtrair pontos para obter vetores, ou adicionar um vetor para um ponto para obter um outro ponto, mas não pode-se adicionar pontos. Em particular, não há como distinguir que ponto serve como origem.

Sendo dado um espaço vetorial   \mathbf{V} de dimensao finita n sobre um corpo  \mathbf{K} dos números reais R, se chama espaço afim de direção  \mathbf{V} um conjunto \mathbf{E} dotado de uma aplicação  \varphi : E \times E \to V \, verificando as duas seguintes condições:

  • (A1)
     \forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \varphi ( A , B ) + \varphi ( B , C ) = \varphi ( A , C ) \,
  • (A2)
     \forall\ A \in E , \forall\ \vec v \in V , \exists!\ B \in E /\ \ \varphi ( A , B ) = \vec v \,

Notação : para todo par de pontos  ( A , B ) \,, notamos «  \overrightarrow{AB} \, » o vetor  \varphi ( A , B ) \,.

Se define a dimensão do espaço afim,  dim(\mathcal E ) como a dimensão do espaço vetorial  \mathbf{V} . Se diz além disso que  \mathbf{V} é o espaço diretor de \mathbf{E}.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Martins Rodrigues, Alexandre Augusto, Álgebra linear e Geometria Euclidiana, Secretaria Geral, Organizaçao dos Estados Americanos, Wahington, D.C. - (1969)
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