Espaço afim

Em geometria, espaço afim é o espaço estudado pela geometria afim. É uma estrutura geométrica que generaliza a propriedades da geometria afim de um espaço euclidiano. Pode ser pensado informalmente como um espaço vetorial onde se esqueceu que ponto é a origem. Em um espaço afim, pode-se subtrair pontos para obter vetores, ou adicionar um vetor para um ponto para obter um outro ponto, mas não pode-se adicionar pontos. Em particular, não há como distinguir que ponto serve como origem.

Sendo dado um espaço vetorial $\mathbf{V}$ sobre um corpo $\mathbf{K}$, se chama espaço afim de direção $\mathbf{V}$ um conjunto $\mathbf{E}$ dotado de uma aplicação $\varphi : E \times E \to V \,$ verificando as duas seguintes condições:

• (A1) $\forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \varphi ( A , B ) + \varphi ( B , C ) = \varphi ( A , C ) \,$
• (A2) $\forall\ A \in E , \forall\ \vec v \in V , \exists!\ B \in E /\ \ \varphi ( A , B ) = \vec v \,$

Notação : para todo par de pontos $( A , B ) \,$, notamos « ^{$\overrightarrow{AB} \,$} » o vetor $\varphi ( A , B ) \,$.

Se define a dimensão do espaço afim, $dim(\mathcal E )$ como a dimensão do espaço vetorial $\mathbf{V}$. Se diz além disso que $\mathbf{V}$ é o espaço diretor de $\mathbf{E}$.

Referências

• Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR1153019
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons; MR 123930, ISBN 978-0-471-50458-0
• Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P. (2001), http://eom.springer.de/A/a011100.htm "Affine space"]], emn Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)