Envoltória convexa

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O invólucro convexo do conjunto dos pontos assinalados é a região limitada pela linha azul.

Em matemática, a envoltória convexa (também chamada de invólucro convexo ou fecho convexo) de um subconjunto S de um espaço vetorial V é o conjunto \{\alpha_1 x_1 + ...+ \alpha_n x_n \in V | \alpha_1,...,\alpha_n\in\R^{+} \wedge \alpha_1 + ... + \alpha_n =1 \wedge \{x_1,...,x_n\} \subset S   \}.

Ou seja, a envoltória convexa de S é o conjunto de todas as combinações convexas de um número finito de elementos de S. Poderíamos, de forma equivalente, ter definido a envoltória convexa de S como a interseção de todos os convexos que contém S.

Visão intuitiva[editar | editar código-fonte]

Para objetos planos, isto é, restritos ao plano, a envoltória convexa pode ser facilmente visualizada de uma tira elástica que ao ser esticada envolva todo o objeto dado, quando ela é solta, ela assumirá a forma requerida da envoltória convexa.

Pode parecer natural generalizar esta abordagem para dimensões maiores pela visualização destes objetos sendo envolvidos por um tipo de membrana plasticas despressurizadas idealizada ou balão sobre tensão. Contudo, a superficie de equilibrido (energia-minima) nestes casos pode não ser uma envoltória convexa — partes da superfície resultante pode ter um curvatura negativa, como uma superfície de uma sela. Para o caso de pontos em um espaço tridimensional, se um cabo rígido é primeiramente colocado entre cada par de pontos, então o será distendido pela tensão e assumira forma de uma envoltória convexa


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