Diagonais de um polígono

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As duas diagonais de um retângulo.

Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.

Cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]

A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "P" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:

P = {n(n-3)\over 2}

É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.

Lados Diagonais
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Lados Diagonais
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Lados Diagonais
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Lados Diagonais
27 324
28 350
29 377
30 405
31 434
32 464
33 495
34 527
Lados Diagonais
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]

Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.

Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:

Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.

P = {n-3}

Onde 'n' é o número de vértices do polígono.

Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: P = 4 - 3 portanto, para o vértice A uma só diagonal.

Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:

d = n(n - 3)

d = 4(4 - 3) = 4

Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:

d = {n(n-3)\over 2}

ou ainda:

d = {n^2-3n\over 2}

Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.

Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio:

Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos:

d = C_{n,2}\ - n = {n!\over 2!(n-2)!} - n = {n^2-3n\over 2}

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