Quadrilátero

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As definições de quadriláteros ao longo da história.

Os Elementos de Euclides[editar | editar código-fonte]

“Os Elementos” de Euclides foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem (História da Matemática, p. 72). Euclides em sua obra, “Os Elementos”, no livro I, Definições, admite as seguintes definições para as figuras quadriláteras:

Paralelogramo ABCD'Figura 1'
Quadriláteros Notáveis de Euclides'Figura 2'
  • rombóide é a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular (p. 98). Ser retangular para Euclides é ter cada um dos ângulos opostos reto (p. 132).
  • das áreas paralelogrâmicas ACDB­­­, tanto os lados quanto os ângulos opostos são iguais entre si (p. 124). “... digo que tanto os lados quanto os ângulos opostos do paralelogramo ACDB são iguais entre si...” (p.123) (figura 1)
  • paralelogramo retangular ou retângulo é dito ser contido pelas duas retas que contêm o ângulo reto (p. 135).
  • paralelogramo equilátero é tido por Euclides como uma figura quadrilátera que tem os quatro lados com a mesma medida (p. 132).
  • oblongo é retangular e não é equilátera (p. 98).
  • losango é equilátera e não é retangular (p. 98).
  • quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular (p. 98).
  • Trapézios são as figuras quadriláteras além dessas (p. 98).

Em resumo Euclides define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 2)

Elementos de Geometria de Legedre[editar | editar código-fonte]

No século XVIII, momento da Revolução Francesa (1789) e período do apogeu das ideias iluministas podemos destacar Legendre como um matemático, que como resposta a sua inquietação com relação à necessidade de maior rigor matemático, revive em sua obra intitulada por “Élements de géométrie”, a qualidade intelectual de Euclides. Legendre nesta obra, especificamente no capítulo, Princípios, livro I, afirma que os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros e entre os quadriláteros, os que mais se distingue são:

  • o paralelogramo ou rombo, que tem os lados paralelos (p.25).
  • o retângulo, que tem os ângulos retos e não tem os lados iguais (p. 25).
  • o losango, que tem os lados iguais, mas os ângulos não (necessariamente) retos (p. 25).
  • o quadrado, que tem os lados iguais e os ângulos retos (p. 25).
  • o trapézio, que só têm dois lados paralelos (p. 25).

Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 3)

Quadriláteros Notáveis de Legendre'Figura 3'

Geometría Elemental de Hemmerling[editar | editar código-fonte]

Em seu livro: Geometría Elemental, primeira edição em 1971, Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:

  • Quadriláteros: um polígono é um quadrilátero quando tem quatro lados (p. 205).
  • Trapézio: um quadrilátero é um trapézio se, e somente se ele tiver um, e apenas um par de lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Os lados não paralelos são simplesmente lados (p. 207).
  • Trapézio isósceles: é aquele em que os lados não adjacentes são congruentes. Um par de ângulos que compartilham uma mesma base são chamados ângulos da base (p. 207).
  • Paralelogramo: um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, os pares de lados opostos são paralelos. Qualquer lado pode ser considerado base (p. 208).
  • Rombo (na tradução de espanhol para português rombo = losango): é um paralelogramo equilátero (p. 208).
  • Retângulo: é um paralelogramo que tem um ângulo reto. Um retângulo é quadrado se, e somente se, tem os quatro lados congruentes. Portanto é um retângulo equilátero (p. 208).

Em resumo Hemmerling define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 4)

Quadriláteros Notáveis de Hemmerling Figura 4

Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa[editar | editar código-fonte]

O livro “Geometria Euclidiana Plana” de João Lucas Marques Barbosa é um dos mais vendidos da Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985. É tido como o livro que aborda a geometria axiomática de forma mais acessível para um educando iniciante nos estudos da Geometria Plana Euclidiana. Atualmente é o livro adotado pela Universidade Federal de Pernambuco para a formação de professores de Matemática na cadeira de Geometria Plana. Dessa forma, foi escolhido para a análise das definições dos quadriláteros. As definições seguintes foram adotadas por João Lucas neste livro:

  • Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos (p. 91).
  • Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos, retos (p. 98).
  • Um losango (também denominado rombo) é um paralelogramo que tem todos os seus lados congruentes (p. 98).
  • Um quadrado é um retângulo que também é um losango (p. 98).
  • Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados de laterais (p. 98).
Quadriláteros Notáveis de João Lucas M.B.'Figura 5'

Em resumo João Lucas M.B. define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 5)

Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville; Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques; Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72 e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar.

Considerando a abordagem feita pelos matemáticos Paulo Figueiredo e João Bosco Pitombeira em seu trabalho para formação de professores, com respeito à existência destas e outras diferentes definições, que afirma o seguinte: “O professor não deve ficar confuso com essas possibilidades de diferentes definições. O importante é procurar manter a coerência interna, após fazer sua escolha, para não dificultar a aprendizagem do aluno”, neste presente texto, considerarei as seguintes definições para os trapézios e os paralelogramos:

  • Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, possui apenas um par de lados opostos, paralelos.
  • Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
Um quadrilátero.'Figura 6'

Em geometria plana euclidiana, quadrilátero é um polígono de quatro lados.[1] (figura 6)

Definição[editar | editar código-fonte]

Um quadrilátero ABCD é o polígono simples de quatro lados obtido da reunião \overline{AB}\cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}.

Elementos[editar | editar código-fonte]

Quadrilátero ABCD'Figura 7'

Identificamos os seguintes elementos em um quadrilátero ABCD: (figura 7)

  • vértices: os pontos A, B, C e D;
  • lados: os segmentos de reta \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} e \overline{DA};
  • diagonais: os segmentos de reta \overline{AC} e \overline{BD};
  • ângulos internos: os ângulos D\hat{A}B (\hat{a}), A\hat{B}C (\hat{b}), B\hat{C}D (\hat{c}), C\hat{D}A (\hat{d});
  • Os ângulos \hat{e}, \hat{f}, \hat{g} e \hat{h} são os ângulos externos do quadrilátero.

Cada ângulo interno de um quadrilátero tem por suplemento o seu respectivo ângulo externo.

  • \hat{e} é o suplemento do ângulo \hat{a}
  • \hat{f} é o suplemento do ângulo \hat{b}
  • \hat{g} é o suplemento do ângulo \hat{c}
  • \hat{h} é o suplemento do ângulo \hat{d}
A diagonal AC foi traçada para subdividir o quadrilátero ABCD em dois triângulos (A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º) Figura 8

Soma dos ângulos internos e externos de um quadrilátero[editar | editar código-fonte]

  • A soma de seus ângulos internos é igual a 360^\circ. [2] . A seguir observe a demonstração:

Seja o quadrilátero ABCD: (figura 8 e figura 9)

Sempre podemos subdividir qualquer quadrilátero em 2 triângulos (na figura ao lado os triângulos são ADC e ABC), então a soma dos ângulos internos será igual a:

S = 2 . (180º )

S = 360º

Ilustração da soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Figura 9
  • A soma de seus ângulos externos é igual a 360º.[2] A seguir observe a demonstração:

Seja o quadrilátero ABCD: (figura 10)

A soma dos ângulos externos de um quadrilátero é igual a 360º. Figura 10

Sendo \hat{a}, \hat{b}, \hat{c} e \hat{d} os ângulos internos do quadrilátero e \hat{e}, \hat{f}, \hat{g} e \hat{h} os respectivos ângulos externos do quadrilátero:

\hat{a} + \hat{e} = 180^\circ

\hat{b} + \hat{f} = 180^\circ

\hat{c} + \hat{g} = 180^\circ

\hat{d} + \hat{h} = 180^\circ

Somando estas equações:

\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} = Soma dos ângulos internos (Si) do quadrilátero ABCD (360º).

\hat{e} + \hat{f} + \hat{g} + \hat{h} = Soma dos ângulos externos do quadrilátero ABCD (Se).

Então:

360º + Se = 720º

Se = 360º

Classificação de quadriláteros[editar | editar código-fonte]

Quadrilátero côncavo.

Os quadriláteros são classificados em quadriláteros convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a região plana limitada por seus lados é convexa, caso contrário ele é côncavo. Quadriláteros convexos são ainda classificados em trapézios ou não-trapézios.

Trapézios[editar | editar código-fonte]

Tipos de trapézios.

Um quadrilátero é considerado um trapézio se dois dos seus lados forem paralelos.[2]

Tipos de trapézios[editar | editar código-fonte]

  • Trapézio Isósceles: quadrilátero com dois lados opostos paralelos e os outros dois congruentes entre si.
  • Trapézio Retângulo: Contem um ângulo reto.
  • Trapézio Escaleno: Todos os lados têm diferentes comprimentos.

Paralelogramo[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Tipos de paralelogramos[editar | editar código-fonte]
  • Retângulo: paralelogramo que possui os quatro ângulos internos congruentes.
  • Losango: paralelogramos que possui os quatro lados congruentes.
  • Quadrado: retângulo que possui os quatro lados congruentes.
Tipos de Paralelogramos.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Soma dos ângulos[editar | editar código-fonte]

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360^\circ. Por ser um polígono convexo, a soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo também somam 360^\circ. [2]

Perímetro e Área[editar | editar código-fonte]

O perímetro de um quadrilátero é a soma dos comprimentos de seus lados. Sua área é a medida da superfície plana limitada por seus lados.[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Referências

  1. Frank Ayres, Robert E. Moyer. Teoria E Prob. de Trigonometria (em português) Bookman, 2003. p. 185.
  2. a b c d e Dolce, O.. Fundamentos de Matemática Elementar. 9 ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535716863
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