Losango

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Um losango é uma figura formada por quatro lados de igual comprimento.

Losango ou rombo (◊) é um quadrilátero equilátero, ou seja, é um polígono formado por quatro lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Alguns autores exigem ainda que nenhum dos ângulos do quadrilátero seja reto para que ele seja considerado um losango.[1]

Todo losango é um paralelogramo, e um losango com ângulos retos é um quadrado.[2] [3]

Uma superfície cujos limites são um losango, ou semelhantes a um losango, designa-se por superfície rômbica.

Em Engenharia e em Física, a designação "rombo" é mais comum.

Etimologia[editar | editar código-fonte]

A palavra rombo vem do grego ῥόμβος (rhombos), ou seja, algo que gira que deriva do verbo ρέμβω (rhembō) que significa voltas e voltas.

Propriedades geométricas[editar | editar código-fonte]

  • Ângulos opostos têm medidas iguais.
  • As suas diagonais são bissetrizes.
  • As suas diagonais são retas perpendiculares, formando ângulos de 90° em seu centro.
  • Todo losango tem um círculo inscrito.

Ângulos[editar | editar código-fonte]

O único losango que não possui dois ângulos agudos (menores que 90°) e dois ângulos obtusos (maiores que 90°) é o quadrado: ele possui quatro ângulos iguais a 90°.

Área[editar | editar código-fonte]

A altura h é a distância perpendicular entre dois lados quaisquer não-adjacentes, ou o diâmetro do circulo inscrito (h=2r).

Existem varias formas de se visualizar a fórmula da área. A mais usual é partindo do que se conhece sobre a fórmula da área do paralelogramo. A área A de um paralelogramo é o produto da sua base pela sua altura (h na ilustração). No losango qualquer lado, todos de comprimento a, se presta a fazer o papel de base:

A = a \cdot h = a \cdot 2 r

Outra forma usual de visualizar a área do losango, é percebendo que o traçado de suas diagonais permite dividi-lo em quatro triângulos retângulos simétricos e de mesma área:

A = 4\cdot K = \frac{p \cdot q}{2}

onde K é a área de um dos triângulos, p e q as diagonais do losango.[4] A correspondência com a área da primeira abordagem é demonstrada na análise do incentro.

Uma terceira forma, se baseia na primeira, mas expressando h como projeção de um lado a, ou seja, como cateto oposto do ângulo \alpha, portando expressando através do seno,

A = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta ,

onde é lembrado que o seno de qualquer ângulo do losango é o mesmo (num paralelogramo os ângulos são suplementares entre si).

Incentro[editar | editar código-fonte]

Visualizando o losango como quadra triângulos-retângulo simétricos (de área K), dados pelas diagonais (p e q).

Para calcular o raio do incentro de um losango, basta usar a seguinte fórmula considerando p e q como diagonais dele.

r = \frac{p \cdot q}{2\sqrt{p^2+q^2}}.

observando o triângulo-retângulo de hipotenusa a e catetos p/2 e q/2, concluímos que a área K de cada triângulo ilustrado é:

K = a \cdot r / 2 =  \frac{p \cdot q}{8}

Referências

  1. Campos (1735), p. 6.
  2. Nota: a definição original de Euclides e de alguns dicionários de língua inglesa excluem os quadrados, mas os matemáticos modernos preferem a definição inclusiva.
  3. Eric W. Weisstein, Square em MathWorld uso inclusivo
  4. Campos, Manoel de. Elementos de geometria plana e solida segundo a ordem de Euclides. [S.l.]: Officina Rita-Cassiana, 1735.