Triângulo retângulo

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ΔABC é um triângulo retângulo, pois BĈA = 90°
Rectangle.svg

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Elementos do triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.
Triangulo-Rectangulo.svg

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

Catetos[editar | editar código-fonte]

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

Altura relativa à hipotenusa[editar | editar código-fonte]

A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.

Projeções dos catetos[editar | editar código-fonte]

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

Relações métricas do triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes.

Ilustração dos principais elementos do triângulo retângulo: a é a hipotenusa, b o cateto maior, c o cateto menor, h a altura relativa à hipotenusa, m a projeção do cateto b e n a projeção do cateto c
  • A hipotenusa é igual à soma das projeções.
 a=m+n

Por semelhança de triângulos, temos que:

  • O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.
  •  :  \frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn
  • O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.
  •  :  \frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am
  •  :  \frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an
  • O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.
  •  :  \frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc

Teorema de Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Exemplo de um triângulo retângulo.svg

O Teorema de Pitágoras diz que:

Cquote1.svg A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Cquote2.svg
Pitágoras

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

Relações trigonométricas do triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

Seno de um ângulo[editar | editar código-fonte]

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

 \mbox{sen } A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}

Cosseno de um ângulo[editar | editar código-fonte]

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

 \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}

Tangente de um ângulo[editar | editar código-fonte]

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::

 \mbox{tg } A = {\mbox{sen } A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}}

Cotangente de um ângulo[editar | editar código-fonte]

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

 \mbox{cotg } A = {\cos A \over \mbox{sen } A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}

Secante de um ângulo[editar | editar código-fonte]

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

 \sec A = {1 \over \cos A}   = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}

Cossecante de um ângulo[editar | editar código-fonte]

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:


\mbox{cossec } A = {1 \over \mbox{sen } A}   = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}

Ângulos notáveis[editar | editar código-fonte]

Graus Radianos sen cos tg cotg sec cossec
0 0 \tfrac{\sqrt{0}}{2}=0 \tfrac{\sqrt{4}}{2}=1 0 \infty 1 \infty
30 \tfrac{\pi}{6} \tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{3} \tfrac{2\sqrt{3}}{3} 2
45 \tfrac{\pi}{4} \tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} 1 1 \tfrac{2\sqrt{2}}{2} \tfrac{2\sqrt{2}}{2}
60 \tfrac{\pi}{3} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2} \sqrt{3} \tfrac{\sqrt{3}}{3} 2 \tfrac{2\sqrt{3}}{3}
90 \tfrac{\pi}{2} \tfrac{\sqrt{4}}{2}=1 \tfrac{\sqrt{0}}{2}=0 \infty 0 \infty 1

Circunferência inscrita num triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

a + b = c + d
Triangulorectangulo.PNG
\left\{ \begin{matrix} a=x+r \Rightarrow x=a-r \, \left ( I \right )\\ b=y+r  \Rightarrow y=b-r \, \left (II \right )\\ c=x+y  \, \left (III \right )  \end{matrix} \right.

Substituindo I e II em III, teremos

c=a-r+b-r \Rightarrow c=a+b-2r \Rightarrow c+2r=a+b

Como:

d=2r \Rightarrow c+d=a+b

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]