Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos é um tipo de relação que é estabelecida entre triângulos quando eles possuem os lados proporcionais e os ângulos congruentes.

Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Sendo que dois lados homólogos (homo=mesmo, logos=lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

$\triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\begin{matrix}{\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\\{\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\\{\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\end{matrix}}\qquad {\text{e}}\qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}\right)$

Razão de semelhança

Sendo $k$ a razão de semelhança entre os lados homólogos, temos:

${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k$.

Então chamamos $k$ de razão de semelhança entre dois triângulos.

Observe também que, se $k=1$, os triângulos são congruentes.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

• Reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo.

$\triangle {ABC}\sim \triangle {ABC}$

• Simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, esse outro é semelhante ao primeiro.

$\triangle {ABC}\sim \triangle {RST}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {RST}\sim \triangle {ABC}$

• Transitiva: se um triângulo é semelhante a outro, que por sua vez é semelhante a um terceiro triângulo, temos que o primeiro e o terceiro triângulo também são semelhantes.

$\triangle {ABC}\sim \triangle {RST}\quad {\text{e}}\quad \triangle {RST}\sim \triangle {XYZ}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {ABC}\sim \triangle {XYZ}$

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

${\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {ADE}\sim \triangle {ABC}$

Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes é, conforme a definição, necessário demonstrar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais.

Portanto, essa demonstração será divida em duas partes, para demonstrar a relação entre os ângulos e os lados.

1° Parte: Ângulos congruentes

Tem-se, por hipótese que ${\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}$.

Assim percebe-se que, pelo postulado das paralelas, temos:

${\hat {D}}\equiv {\hat {B}}$ e ${\hat {E}}\equiv {\hat {C}}$, pois são ângulos correspondentes.

O ângulo ${\hat {A}}$ é comum aos dois triângulos.

Logo os dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes.

2° Parte: Lados homólogos proporcionais

Por se tratar de um par de paralelas cortadas por duas transversais, é possível utilizar o teorema de Tales.

Fazendo isso, pode-se observar a relação:

${\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}$

É possível construir uma paralela a ${\overleftrightarrow {AB}}$ que passe por $E$.

Assim, essa paralela interceptará ${\overline {BC}}$ em um ponto $F$.

Essa construção garante que: ${\overleftrightarrow {EF}}//{\overleftrightarrow {AB}}$

Logo o quadrilátero $BDEF$ é um paralelogramo.

Sendo assim: ${\overline {DE}}\equiv {\overline {BF}}$ e ${\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BF}}$ .

Utilizando mais uma vez o teorema de Tales (dessa vez com ${\overleftrightarrow {EF}}$ e ${\overleftrightarrow {AB}}$ sendo paralelas e ${\overleftrightarrow {AC}}$ e ${\overleftrightarrow {BC}}$ transversais) obtêm-se:

${\frac {AE}{AC}}={\frac {BF}{BC}}$

Como $DE=BF$, pode-se escrever:

${\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}$

Logo:

${\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}$

E então têm-se que os lados homólogos são proporcionais.

Como os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes, por definição.

Logo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Casos ou critérios de semelhança

1° Caso

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

Demonstração

Queremos demonstrar que, para dois triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'C'}$, vale:

${\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}$

Para demonstrar isso, é útil supor, sem perda de generalidade, que os triângulos não são congruentes e que ${\overline {AB}}>{\overline {A'B'}}$

Seja $D$ um ponto de ${\overline {AB}}$ tal que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}$ e seja o triângulo $ADE$ com ${\hat {D}}\equiv {\hat {B'}}$ e $E$ no lado ${\overline {AC}}$.

Assim, é possível observar a seguinte congruência entre triângulos:

${\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}\equiv {\hat {B'}}\quad (ALA)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ADE}\equiv \triangle {A'B'C'}$

Observe que, como ${\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}$ (por hipótese) e ${\hat {B'}}\equiv {\hat {D}}$ (por construção), tem-se que ${\hat {B}}\equiv {\hat {D}}$, o que implica ${\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}$.

Conforme o teorema fundamental da semelhança, demonstrado acima, temos que ${\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}$ implica $\triangle {ABC}\sim \triangle {ADE}$.

Visto que $\triangle {ADE}\equiv \triangle {A'B'C'}$, vale que $\triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}$.

Logo, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que dois de seus ângulos sejam ordenadamente congruentes.

2° Caso

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a do 1° caso, porém se utiliza de outro caso de congruência.

3° Caso

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga à demonstração dos dois casos anteriores, porém utiliza outro caso de congruência.

Propriedades notáveis

Seja dois triângulos semelhantes nos quais a razão de semelhança é $k$, vale:

• a razão entre os perímetros é $k$;
• a razão entre as alturas homólogas é $k$;
• a razão entre as medianas homólogas é $k$;
• a razão entre as bissetrizes internas homólogas é $k$;
• a razão entre os raios dos círculos inscritos é $k$;
• a razão entre os raios dos círculos circunscritos é $k$.

Ou seja, a razão entre dois elementos lineares homólogos é $k$.

Quanto à áreas temos os seguintes resultados: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é $k^{2}$

Demonstrações

Demonstrações das propriedades anteriores.

Razão entre os perímetros

Triângulos semelhantes

Se dois triângulos são semelhantes de razão $k$, então a razão entre os perímetros também é $k$.

Assim, seja os triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'C'}$, temos:

$\triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k$.

Para essa demonstração é útil escrever essas relações da seguinte forma: ${\begin{cases}a=a'.k\\b=b'.k\\c=c'.k\end{cases}}$

Visto que o perímetro é a soma da medida de todos os lados, tem-se:

$p=a+b+c$ (perímetro de $\triangle {ABC}$)

$p'=a'+b'+c'$ (perímetro de $\triangle {A'B'C'}$)

Assim, tem-se que a razão entre os perímetros é:

${\frac {p}{p'}}={\frac {a+b+c}{a'+b'+c'}}={\frac {a'.k+b'.k+c'.k}{a'+b'+c'}}={\frac {k.(a'+b'+c')}{a'+b'+c'}}=k$

Logo a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre os triângulos.

Razão entre as alturas

Imagem para demonstração

Se dois triângulos são semelhantes de razão $k$, então a razão entre as alturas também é $k$.

Por hipótese, tem-se:

$\triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k\quad {\text{e}}\quad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$

Seja o segmento ${\overline {CH}}$ altura relativa ao vértice $C$ em $\triangle {ABC}$ e o segmento ${\overline {C'H'}}$ altura relativa ao vértice $C'$ em $\triangle {A'B'C'}$, tem-se:

$C{\hat {H}}B=C'{\hat {H'}}B'=90^{\circ }$

Como $C{\hat {H}}B=C'{\hat {H'}}B'=90^{\circ }$ e ${\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}$, temos que $\triangle {CHB}\sim \triangle {C'H'B'}$.

Dessa semelhança, obtêm-se:

${\frac {a}{a'}}={\frac {CH}{C'H'}}={\frac {HB}{H'B'}}$

Como $CH=h$, $C'H'=h'$ e ${\frac {a}{a'}}=k$, pode-se escrever:

${\frac {h}{h'}}=k$.

Logo a razão entre as medidas das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os triângulos.

Razão entre as áreas

Se dois triângulos são semelhantes de razão $k$, então a razão entre as áreas é $k^{2}$.

Assim, seja os triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'C'}$, temos:

Imagem para demonstração da razão entre as áreas de triângulos semelhantes

$\triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k$

Sendo $h$ a medida da altura relativa ao lado ${\overline {AB}}$ de $\triangle {ABC}$ e $h'$ a medida da altura relativa ao lado ${\overline {A'B'}}$ de $\triangle {A'B'C'}$, temos também que:

${\frac {h}{h'}}=k$.

Observe também que ${\overline {AB}}=c$ e ${\overline {A'B'}}=c'$.

Então, é possível calcular a razão entre a área dos triângulos:

${\frac {A_{ABC}}{A_{A'B'C'}}}={\frac {\frac {c.h}{2}}{\frac {c'.h'}{2}}}={\frac {c.h}{2}}.{\frac {2}{c'.h'}}={\frac {c}{c'}}.{\frac {h}{h'}}=k.k=k^{2}$

Logo a razão entre as medidas das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os triângulos.