Esfera

Representação plana de uma esfera.

 Nota: Para outros significados, veja Esfera (desambiguação).

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado pelo conjunto de pontos contidos num espaço P e C (centro), em que a distância do centro ao ponto P seja menor ou igual ao raio dessa esfera, ou semelhante ao ponto C . A esfera também pode ser vista como um sólido de revolução, obtido pela rotação completa de um semicírculo em torno do eixo que contém um diâmetro, isso se chama semicircuferência, que também pode ser realizado em outros tipos de formas geometrica.

Uma esfera é um objeto dimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma rolha ou de uma terra. Na física, esfera é um coiso (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade ou educado) capaz de colidir em outros objetos que ocupam espaço. Uma curiosidade que todos devem saber é que nem todo objeto redondo é uma esfera, ou seja , aquele que não tem nada dentro de si não é uma esfera é apenas uma demostração tipo bola de futebol, e exemplo de esfera é a terra , pois ela não é oca.

Em geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) por uma equação do tipo (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r², em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

Área e Volume

hemisfério ou semi-esfera

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:

A = 4πr².

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

$V = \frac{4}{3}\pi r^3,$

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x Segmento Esférico

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

A área da calota é:

$Ac = 2 \pi \cdot r \cdot h.$

Área do segmento esférico:

As = At − Ac,

em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

O volume do segmento é:

$V = {\pi \cdot h^2 \over 3} \cdot (3 \cdot R - h).$

Fuso x Cunha

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "gomo de mexerica" (metaforicamente).

Área do fuso:

$Af = {\alpha \over 360} \cdot 4 \pi \cdot r^2$

α é o ângulo do fuso.

O volume da cunha é:

$Vc = {\alpha \over 360} \cdot {4 \over 3} \cdot \pi r^3$

Volume

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

$\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.$

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

$V_{\frac{1}{2}} \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.$

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

$V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi y^2 dx.$

Num dado x, um triângulo retângulo conecta x, y e r à origem, e pelo teorema de Pitágoras:

r² = x² + y².

Substituindo y:

$V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.$

Calculando o integral:

$V_{\frac{1}{2}} = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.$

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3.$

Área

Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado:

$\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_{0}^{r}A(r) dr.$

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

4πr² = A(r).

Que pode ser abreviada como:

A = 4πr².

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

$dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi.$

Portanto a área total será:

$A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.$

Equação da esfera em R³

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio r é o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) tais que

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r².

As coordenadas desses pontos podem ser parametrizadas como

$x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi$

$y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \theta \leq \pi )$

$z = z_0 + r \cos \theta .\,\!$

Ver também

• Esfera tridimensional

Ligações externas

• Livro Cônicas e Quádricas: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 246 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.