Pirâmide

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Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo V e outra num polígono dado sobre um plano fixo \alpha que não contém V.[1] Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito[2] , uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Ilustração da definição de pirâmide.

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo V (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém V.[1] [2] Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).[3]

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semi-retas que tem origem em um ponto fixo V e que passam por uma região poligonal que não contém V. Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido [1] .

Tetraedro.
Pirâmide quadrangular.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Uma pirâmide é dita ser convexa quado sua base é um polígono convexo.[1] É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.[3]

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza.[1] Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.[2]

Elementos[editar | editar código-fonte]

Ilustração de alguns elementos de uma pirâmide. Altura h, apótema da base a_b e apótema lateral a_l.

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:[1] [2]

  • base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.
  • face lateral - qualquer triângulo de vértices V e dois vértices consecutivos da base.
  • aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em V e outro em um vértice da base.
  • aresta da base - qualquer lado do polígono da base.
  • diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.
  • vértices - V ou qualquer vértice da base.
  • triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema[editar | editar código-fonte]

A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então h é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.[1] [2]

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.[1]

Área da superfície[editar | editar código-fonte]

A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.[1]

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:

A_l = n \frac{b a_l}{2}

onde, n é o número de arestas do polígono da base, b é o comprimento de uma aresta da base e a_l é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:

A_t = A_b + A_l,

onde, A_b é a área de sua base.

Volume[editar | editar código-fonte]

Volume de um tetraedro[editar | editar código-fonte]

Tetraedro e o prima associado.

O volume de um tetraedro é dada por:

V = \frac{A_b\cdot h}{3}

onde, A_b é a área de sua base e h é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base A_b e altura h. Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prima formado.[1] [4]

Volume de uma pirâmide[editar | editar código-fonte]

O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:[3] [5] [4]

V = \frac{A_b\cdot h}{3}

onde, A_b é a área de sua base e h é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Commons
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Referências

  1. a b c d e f g h i j Dolce, Osvaldo Pompeo. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 10. 7. ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535717587.
  2. a b c d e JULIANI, Kleber Sebatião. Geometria Espacial:uma visão do espaço para a vida. 2008. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.
  3. a b c Weisstein, Eric W.. Pyramid -- from MathWorld -- A Wolfram Web Resource. Visitado em 7/11/2014.
  4. a b Lima, Elon Lages. A matemática do ensino médio - volume 2. 6. ed. [S.l.]: SBM, 2006. ISBN 8585818115.
  5. MACHADO, Paulo Antônio Fonseca. Fundamentos de Geometria Espacial. Universidade Federal de Minas Gerais, 2013.