Ângulo sólido

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Um ângulo sólido

O ângulo sólido pode ser definido como aquele que, visto do centro de uma esfera, percorre uma dada área sobre a superfície dessa esfera. Ângulos sólidos assim definidos são medidos em esferorradianos (também designados esterradianos) e explicitados pela letra Ω (ómega). Trata-se do equivalente tridimensional do ângulo ordinário, com o esferorradiano (unidade de ângulo sólido, com o símbolo sr) análogo ao radiano. Ângulos sólidos também podem ser definidos como a elevação ao quadrado dos graus ordinários.

Uma forma intuitiva de perceber o ângulo sólido consiste em pensar numa das suas aplicações físicas, a observação do céu. Numa observação astronómica pode ser vista e medida uma área do céu visível. Se nos considerarmos no centro de uma esfera que abarca na sua superfície essa área visível, o "ângulo de visão" é o nosso ângulo sólido. Um ângulo ordinário é confinado por duas rectas, este será confinado presumivelmente por uma superfície de cone (se a superfície vista no céu tiver uma forma circular).

Para calcular o ângulo sólido que um objecto, a partir do seu centro, subentende, basta calcular o tamanho da área direccionada a partir do centro do objecto, sobre a esfera que tem como centro o próprio objecto e dividir esse valor pelo quadrado do raio dessa esfera.

Assim, o ângulo sólido é dado por:


\Omega

= 
\frac{A}{r^2} [sr]

Ângulos sólidos para objectos comuns[editar | editar código-fonte]

  • Um algoritmo eficiente para calcular o ângulo Ω subentendido por um triângulo com os vértices R1, R2 e R3, visto da origem, foi dado por Oosterom e Strackee (IEEE Trans. Biom. Eng., Vol BME-30, No 2, 1983):


\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right)

= 
\frac{[{\mathbf R}_{1}{\mathbf R}_{2}{\mathbf R}_{3}]}{ R_{1}R_{2}R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{2})R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{2} + ( {\mathbf R}_{2} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{1}}

,

onde:

[R1R2R3] denota o determinante da matriz que resulta da escrita dos vectores juntos numa linha, e.g. Mij=Rj(i);
Ri denota a distância do ponto i à origem e Ri a direcção vectorial do ponto i;
Ri·Rj denota o produto escalar.
  • O ângulo sólido de uma pirâmide regular é 4*arccos[-(sin[a/2])^2] - 2*π.