Polígono regular

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Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferencia

Formulário[editar | editar código-fonte]

Para um polígono regular goin de n lados, e medida de lado l:

Soma dos Ângulos Internos (Si)[editar | editar código-fonte]

A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode ser calculada dividindo-se a figura com segmentos que ligam um vértice definido a cada um dos outros. O polígono será dividido em n-2 triângulos,[1] cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos. Somando, encontra-se S_i A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a 180ºx(n-2)

S_i={(n-2) . 180^\circ}

ou, em radianos,

S_i={(n-2) \pi}

Ângulos Internos (Ai)[editar | editar código-fonte]

Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados consecutivos. Em um polígono regular, sendo todos os ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma dos ângulos internos pelo número de lados.

Ângulos Externos (Ae)[editar | editar código-fonte]

São os suplementos dos ângulos internos:

A_e=180^\circ - A_i = {360^\circ \over n}

ou, em radianos:

A_e={2\pi \over n}

Note-se que a soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º. A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono convexo (em que só pode traçar ligas por dentro do polígono) é igual a 360º.

Raio (r)[editar | editar código-fonte]

Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência cincunscrita ao polígono.

r={l \over 2 .cos(A_i/2)}


r={l \over 2 .sen(\pi/n)}={l \over 2 .sen(180^\circ/n)}

Apótema (a)[editar | editar código-fonte]

Distancia do ponto médio do segmento do polígono circunscrito até o centro da circunferencia. (formando 90°)

Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.

a={\sqrt{r^2 - l^2/4}}

ou

a={r .sen(A_i/2)}\,\;

ou

a={r .cos(\pi/n)}={r .cos(180^\circ/n)}

ou

a={l .tan(A_i/2) \over 2}

ou

a={l \over 2 .tan(\pi/n)}={l \over 2 .tan(180^\circ/n)}

Altura (h)[editar | editar código-fonte]

Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.

  • Se n é par:
h={2 .a}\,\;
  • Se n é ímpar:
h={r + a}\,\;

No triângulo equilátero inscrito numa circunferência, no entanto, pode-se afirmar que:

h={3 .a}\,\;

Diagonais[editar | editar código-fonte]

Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos).

Diagonal principal (dp)[editar | editar código-fonte]

Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.

  • Se n é par:
d_p={2 .r}\,\;

Maior diagonal (d+)[editar | editar código-fonte]

Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.

  • Se n é ímpar e maior que 3:
d+={h \over sen[\frac{A_i .(n-1)}{2 .(n-2)}]}

Menor diagonal (d-)[editar | editar código-fonte]

Menor distância entre 2 vértices do polígono.

  • Para n maior que 3:
d-={l .sen(A_i) \over sen[\frac{A_i}{(n-2)}]}

Número de diagonais (Nd)[editar | editar código-fonte]

Nd={n .(n-3) \over 2}

Número de diagonais de um UNICO VÉRTICE[editar | editar código-fonte]

O número de diagonais que se pode obter de um vértice é

ND=({n-3})

Perímetro (2P)[editar | editar código-fonte]

Soma da medida dos lados.

2 P={n .l}\,\;

Semiperímetro (p)[editar | editar código-fonte]

Semiperímetro é a medida da metade do perímetro de uma figura geométrica

p={n .l \over 2}

Área (A)[editar | editar código-fonte]

Superfície ocupada pelo polígono.

A=\frac{n.l^2}{4 .tan(\pi/n)}=\frac{n.l^2}{4 .tan(180^\circ/n)}

ou

A={n .l .a \over 2}
A = p.a

Circunferência circunscrita[editar | editar código-fonte]

Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.

Perímetro (Pcirc)[editar | editar código-fonte]

P_{circ}={2 .\pi .r}\,\;

ou

P_{circ}={\pi .l \over sen(\pi/n)}={\pi .l \over sen(180^\circ /n)}

Área (Acirc)[editar | editar código-fonte]

A_{circ}={\pi .r^2}\,\;

ou

A_{circ}={\pi .l^2 \over 4 .sen^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 4 .sen^2(180^\circ /n)}

Circunferência Inscrita[editar | editar código-fonte]

Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.

Perímetro (Pins)[editar | editar código-fonte]

P_{ins}={2 .\pi .a}\,\;

ou

P_{ins}={\pi .l \over tan(\pi/n)}={\pi .l \over tan(180^\circ /n)}

Área (Ains)[editar | editar código-fonte]

A_{ins}={\pi .a^2}\,\;

ou

A_{ins}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(180^\circ /n)}

A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por:

\Delta A_{\circ}=A_{circ} -A_{ins}={\pi .l^2 \over 4}

Referências

  1. Marcos Noé. Área de um Polígono Regular (em português) R7. Brasil Escola. Página visitada em 20 de junho de 2013.