Polígono regular

Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

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  Triângulo equilátero

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  Quadrado

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  Pentágono regular

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  Hexágono regular

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  Heptágono regular

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  Octógono regular

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  Eneágono regular

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  Decágono regular

Formulário

Para um polígono regular goin de $n$ lados, e medida de lado $l$:

Soma dos Ângulos Internos (S_i)

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo regular pode ser calculada dividindo-se a figura com segmentos que ligam um vértice definido a cada um dos outros. O polígono será dividido em $n-2$ triângulos, cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos. Somando, encontra-se $S_i$

$S_i={(n-2) /. 180^\circ}$

ou, em radianos,

$S_i={(n-2) \pi}$

Ângulos Internos (A_i)

Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados consecutivos. Em um polígono regular, sendo todos os ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma dos ângulos internos pelo número de lados.

Ângulos Externos (A_e)

São os suplementos dos ângulos internos:

$A_e=180^\circ - A_i = {360^\circ \over n}$

ou, em radianos:

$A_e={2\pi \over n}$

Note-se que a soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º.

Raio (r)

Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência cincunscrita ao polígono.

$r={l \over 2 .cos(A_i/2)}$

$r={l \over 2 .sen(\pi/n)}={l \over 2 .sen(180^\circ/n)}$

Apótema (a)

Distancia do ponto médio do segmento do polígono circunscrito até o centro da circunferencia. (formando 90°)

Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.

$a={\sqrt{r^2 - l^2/4}}$

ou

$a={r .sen(A_i/2)}\,\;$

ou

$a={r .cos(\pi/n)}={r .cos(180^\circ/n)}$

ou

$a={l .tan(A_i/2) \over 2}$

ou

$a={l \over 2 .tan(\pi/n)}={l \over 2 .tan(180^\circ/n)}$

Altura (h)

Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.

• Se n é par:

$h={2 .a}\,\;$

• Se n é ímpar:

$h={r + a}\,\;$

No triângulo equilátero inscrito numa circunferência, no entanto, pode-se afirmar que:

$h={3 .a}\,\;$

Diagonais

Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos).

Diagonal principal (d_p)

Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.

• Se n é par:

$d_p={2 .r}\,\;$

Maior diagonal (d+)

Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.

• Se n é ímpar e maior que 3:

$d+={h \over sen[\frac{A_i .(n-1)}{2 .(n-2)}]}$

Menor diagonal (d-)

Menor distância entre 2 vértices do polígono.

• Para n maior que 3:

$d-={l .sen(A_i) \over sen[\frac{A_i}{(n-2)}]}$

Número de diagonais (Nd)

$Nd={n .(n-3) \over 2}$

Número de diagonais de um UNICO VÉRTICE

O número de diagonais que se pode obter de um vértice é

$ND=({n-3})$

Perímetro (2P)

Soma da medida dos lados.

$2 P={n .l}\,\;$

Semiperímetro (p)

Semiperímetro é a medida da metade do perímetro de uma figura geométrica

$p={n .l \over 2}$

Área (A)

Superfície ocupada pelo polígono.

$A=\frac{n.l^2}{4 .tan(\pi/n)}=\frac{n.l^2}{4 .tan(180^\circ/n)}$

ou

$A={n .l .a \over 2}$

$A = p.a$

Circunferência circunscrita

Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.

Perímetro (P_circ)

$P_{circ}={2 .\pi .r}\,\;$

ou

$P_{circ}={\pi .l \over sen(\pi/n)}={\pi .l \over sen(180^\circ /n)}$

Área (A_circ)

$A_{circ}={\pi .r^2}\,\;$

ou

$A_{circ}={\pi .l^2 \over 4 .sen^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 4 .sen^2(180^\circ /n)}$

Circunferência Inscrita

Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.

Perímetro (P_ins)

$P_{ins}={2 .\pi .a}\,\;$

ou

$P_{ins}={\pi .l \over tan(\pi/n)}={\pi .l \over tan(180^\circ /n)}$

Área (A_ins)

$A_{ins}={\pi .a^2}\,\;$

ou

$A_{ins}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(180^\circ /n)}$

A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por:

$\Delta A_{\circ}=A_{circ} -A_{ins}={\pi .l^2 \over 4}$