Poliedro platônico inscrito em esfera

Um poliedro platônico está inscrito em uma esfera, quando todos os seus vértices tangenciam a superfície da esfera.

Dizer que a esfera está circunscrita ao poliedro platônico é uma possibilidade para descrever o mesmo conceito.

Medida do raio da esfera circunscrita ao poliedro platônico

Se $d$ é a medida da aresta do poliedro platônico, então é possível definir o valor do raio da esfera circunscrita ao poliedro em função de $d$.

Tetraedro inscrito em esfera

Tetraedro regular $ABCD$ inscrito em esfera.

Fixe $d$ como sendo a medida da aresta do tetraedro regular inscrito em uma esfera.

Seja $O$ o ponto central da esfera inscrita ao tetraedro. Logo, o segmento que se estende do ponto $O$ até um dos vértices do tetraedro será igual a medida do raio da esfera circunscrita a ele.

Sabendo que no tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer até as suas quatro faces é igual à altura do tetraedro, então vale que a soma das distâncias do ponto $O$ até cada uma das faces resulta no valor da altura $h$ do tetraedro. Logo, como cada uma dessas distâncias é igual a medida do raio $r$ da esfera inscrita, segue que

$4r=h$$\Rightarrow r={\frac {h}{4}}.$

Como $h={\frac {\sqrt {6}}{3}}d$, então

$r={\frac {{\frac {\sqrt {6}}{3}}d}{4}}$$\Rightarrow r={\frac {\sqrt {6}}{3\cdot 4}}d$$\Rightarrow r={\frac {\sqrt {6}}{12}}d.$

Mas observe que, $R+r=h$, ou seja

$R+r=h$$\Rightarrow R+{\frac {\sqrt {6}}{12}}d={\frac {\sqrt {6}}{3}}d$$\Rightarrow R={\frac {\sqrt {6}}{3}}d-{\frac {\sqrt {6}}{12}}d$$\Rightarrow R={\frac {4{\sqrt {6}}}{12}}d-{\frac {\sqrt {6}}{12}}d$$\Rightarrow R={\frac {3{\sqrt {6}}}{12}}d$$\Rightarrow R={\frac {\sqrt {6}}{4}}d.$

Cubo inscrito em esfera

Seja $d$ a medida da aresta do cubo. O valor do raio $R$ da esfera circunscrita, será igual a metade do valor da diagonal do cubo. Logo, como a diagonal do cubo vale $d{\sqrt {3}}$, então $R={\frac {\sqrt {3}}{2}}d.$

Octaedro inscrito em esfera

Seja $d$ a medida da aresta do octaedro regular. A medida do raio $R$ da esfera circunscrita é igual a metade do valor da diagonal do octaedro. Como a diagonal do octaedro regular vale $d{\sqrt {2}}$, segue que $R={\frac {\sqrt {2}}{2}}d.$

Dodecaedro inscrito em esfera

Ilustração de dodecaedro regular inscrito em esfera.

Fixe $d$ como sendo a medida da aresta de um dodecaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio $R$ da esfera circunscrita é dada por $R={\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$.

Icosaedro inscrito em esfera

Ilustração de icosaedro regular inscrito em esfera.

Defina $d$ como sendo o valor da medida da aresta de um icosaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio $R$ da esfera circunscrita ao poliedro é dada por $R={\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d$.

Propriedades métricas dos poliedros platônicos

Seja $d$ a medida da aresta de um poliedro. A tabela seguinte agrupa os valores do raio da esfera circunscrita, além do volume de cada poliedro em função de $d$.

Poliedro	Raio da esfera circunscrita	Volume
Tetraedro	${\frac {\sqrt {6}}{4}}d$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}d^{3}$
Cubo ou Hexaedro regular	${\frac {\sqrt {3}}{2}}d$	$d^{3}$
Octaedro	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}d^{3}$
Dodecaedro	${\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})d^{3}$
Icosaedro	${\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})d^{3}$

Porcentagem do volume da esfera ocupado por poliedro platônico inscrito

Para determinar a porcentagem do volume da esfera ocupado por um poliedro platônico inscrito a ela, pode-se utilizar a fórmula do volume do poliedro (que está fixado na tabela de propriedades métricas dos poliedros platônicos) e o raio da esfera circunscrita ao poliedro para calcular o volume da esfera circunscrita.

A fórmula utilizada para calcular o volume da esfera é:

$V={\frac {4}{3}}\cdot \pi R^{3}.$

Assim, o volume da esfera corresponderá a 100% do total e o volume do poliedro inscrito corresponderá à porcentagem ocupada que queremos descobrir (utilizaremos x).

É possível relacionar os volumes por meio da regra de três. Abaixo, seguem desenvolvidas as relações para os cinco poliedros platônicos:

• Tetraedro:

Para representar o volume do tetraedro, utilizaremos $V_{1}$, e para o volume da esfera circunscrita ao tetraedro, utilizaremos $V_{2}$:

$V_{1}={\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot d^{3}$

$V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {{\sqrt {6}}\cdot d}{4}}{\Big )}^{3}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {6{\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot 6{\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{64\cdot 3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{8}}.$

Assim, o volume da esfera ($V_{2}$) representa 100% e o volume do tetraedro ($V_{1}$) será representado por $x$.

Utilizando regra de três, tem-se:

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.$

Substituindo os valores obtidos para $V_{1}$ e $V_{2}$:

$100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}$$\Rightarrow 100\%\cdot {\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot d^{3}=x\cdot {\frac {\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}{8}}$$\Rightarrow {\frac {100\%{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{12}}\cdot {\frac {8}{\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}}=x$$\Rightarrow {\frac {8\cdot 100\%{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{12\pi {\sqrt {6}}\cdot d^{3}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%}{3\pi {\sqrt {3}}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{3\pi {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{9\pi }}=x.$

Utilizando $\pi \cong 3,14$ e ${\sqrt {3}}\cong 1,73$:

${\frac {200\%\cdot 1,73}{9\cdot 3,14}}\cong x$$\Rightarrow {\frac {346\%}{28,26}}\cong x$$\Rightarrow 12,24\%\cong x.$

• Cubo:

Fixemos $V_{1}$ para representar o volume do cubo e $V_{2}$ para representar o volume da esfera circunscrita ao cubo:

$V_{1}=d^{3}$

$V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{2}}{\Big )}^{3}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{8}}{\Big )}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot 3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{8\cdot 3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{2}}.$

Logo, se $V_{2}$ equivale a 100% do volume, então $V_{1}$ equivale a $x$ por cento.

Novamente, por meio de regra de três:

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.$

Substituindo $V_{1}$ e $V_{2}$:

$100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}$$\Rightarrow 100\%\cdot d^{3}=x\cdot {\frac {\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{2}}$$\Rightarrow 100\%\cdot d^{3}\cdot {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%\cdot d^{3}}{\pi {\sqrt {3}}\cdot d^{3}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%}{\pi {\sqrt {3}}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{\pi {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}}=x$$\Rightarrow {\frac {200\%{\sqrt {3}}}{3\pi }}=x.$

Para $\pi \cong 3,14$ e ${\sqrt {3}}\cong 1,73$, conclui-se:

${\frac {200\%\cdot 1,73}{3\cdot 3,14}}\cong x$$\Rightarrow {\frac {346\%}{9,42}}\cong x$$\Rightarrow 36,73\%\cong x.$

• Octaedro:

Sendo o volume do octaedro representado por $V_{1}$ e o volume da esfera circunscrita ao octaedro representado por $V_{2}$:

$V_{1}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\cdot d^{3}$

$V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {{\sqrt {2}}\cdot d}{2}}{\Big )}^{3}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {2{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{8}}{\Big )}}{3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot 2{\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{8\cdot 3}}\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{3}}.$

Como $V_{1}$ representa 100% do volume, então $V_{2}$ ocupará $x$ por cento do volume da esfera. Assim:

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.$

Novamente, substituindo $V_{1}$ e $V_{2}$:

$100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}$$\Rightarrow 100\%\cdot {\frac {\sqrt {2}}{3}}\cdot d^{3}=x\cdot {\frac {\pi {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{3}}$$\Rightarrow {\dfrac {100\%\cdot {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}{3}}\cdot {\frac {3}{\pi {\sqrt {2}}\cdot d^{3}}}=x$$\Rightarrow {\frac {100\%}{\pi }}=x.$

Utilizando $\pi \cong 3,14$:

${\frac {100\%}{3,14}}\cong x$$\Rightarrow 31,85\%\cong x.$

• Dodecaedro:

Agora, seja $V_{1}$ o volume do dodecaedro e $V_{2}$ o volume da esfera circunscrita ao dodecaedro:

$V_{1}={\frac {1}{4}}\cdot (15+7{\sqrt {5}})\cdot d^{3}$

$V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot (1+{\sqrt {5}})\cdot d{\Big )}^{3}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}^{3}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3d^{2}}{16}}+{\frac {{\sqrt {45}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {{\sqrt {45}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {15d^{2}}{16}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3d^{2}}{16}}+{\frac {2{\sqrt {45}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {15d^{2}}{16}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}d}{4}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3d^{2}}{16}}+{\frac {6{\sqrt {5}}\cdot d^{2}}{16}}+{\frac {15d^{2}}{16}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {{\sqrt {3}}\cdot d}{4}}+{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d}{4}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {6{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {3{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {6{\sqrt {75}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {6{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {3{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {30{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {15{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi \cdot {\Big (}{\frac {48{\sqrt {3}}\cdot d^{3}}{64}}+{\frac {24{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{64}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi \cdot {\Big (}{\frac {48{\sqrt {3}}\cdot d^{3}+24{\sqrt {15}}\cdot d^{3}}{16}}{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {48{\sqrt {3}}\cdot d^{3}\cdot \pi +24{\sqrt {15}}\cdot d^{3}\cdot \pi }{16\cdot 3}}$$\Rightarrow V_{2}={\sqrt {3}}\cdot d^{3}\cdot \pi +{\frac {{\sqrt {15}}\cdot d^{3}\cdot \pi }{2}}$$\Rightarrow V_{2}=\pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}.$

Desse modo, $V_{2}$ representa 100% do volume e $V_{1}$ representa $x$ por cento.

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.$

Logo, com os valores obtidos para $V_{1}$ e $V_{2}$:

$100\%\cdot {\frac {1}{4}}\cdot (15+7{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=x\cdot \pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}$$\Rightarrow {\frac {(1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{4}}=x\cdot \pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}$$\Rightarrow (1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=4\cdot x\cdot \pi \cdot {\bigg (}{\sqrt {3}}+{\frac {\sqrt {15}}{2}}{\bigg )}\cdot d^{3}$$\Rightarrow (1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=x\cdot \pi \cdot {\Big (}4{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}{\Big )}\cdot d^{3}$$\Rightarrow {\dfrac {(1500\%+700\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{\pi \cdot {\Big (}4{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}{\Big )}\cdot d^{3}}}=x$$\Rightarrow {\dfrac {1500\%+700\%{\sqrt {5}}}{2\pi \cdot {\Big (}2{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}{\Big )}}}=x.$

Para ${\sqrt {5}}\cong 2,24$, $\pi \cong 3,14$, ${\sqrt {3}}\cong 1,73$ e ${\sqrt {15}}\cong 3,87$, tem-se:

${\dfrac {1500\%+700\%\cdot 2,24}{2\cdot 3,14\cdot {\Big (}2\cdot 1,73+3,87{\Big )}}}\cong x$$\Rightarrow {\dfrac {3068\%}{46,03}}\cong x$$\Rightarrow 66,65\%\cong x$.

• Icosaedro:

Para representar o volume do icosaedro utilizaremos $V_{1}$ e para representar o volume da esfera circunscrita ao icosaedro utilizaremos $V_{2}$:

$V_{1}={\frac {5}{12}}\cdot (3+{\sqrt {5}})\cdot d^{3}$

$V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}^{3}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {(10+2{\sqrt {5}})\cdot d^{2}}{16}}\cdot d{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\Big (}{\frac {5d^{2}}{8}}+{\frac {{\sqrt {5}}\cdot d^{2}}{8}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d{\Big )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {4\pi {\bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d^{3}}{32}}+{\frac {{\sqrt {5\cdot (10+2{\sqrt {5}})}}\cdot d^{3}}{32}}{\bigg )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\dfrac {\pi {\bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot d^{3}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\cdot d^{3}}{8}}{\bigg )}}{3}}$$\Rightarrow V_{2}={\frac {\pi {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}\cdot d^{3}}{8\cdot 3}}$$\Rightarrow V_{2}=\pi \cdot {\Bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{24}}{\Bigg )}\cdot d^{3}.$

Como $V_{2}$ vale 100%, então o volume de $V_{1}$ será de $x$ por cento.

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {x}{100\%}}\Rightarrow 100\%\cdot V_{1}=x\cdot V_{2}.$

Ou seja, com os valores obtidos para $V_{1}$ e $V_{2}$:

$100\%\cdot {\frac {5}{12}}\cdot (3+{\sqrt {5}})\cdot d^{3}=x\cdot \pi \cdot {\Bigg (}{\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{24}}{\Bigg )}\cdot d^{3}$$\Rightarrow {\frac {(1500\%+500\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{12}}=x\cdot {\Bigg [}{\frac {\pi \cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}\cdot d^{3}}{24}}{\Bigg ]}$$\Rightarrow {\Bigg [}{\frac {(1500\%+500\%{\sqrt {5}})\cdot d^{3}}{12}}{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\frac {24}{\pi \cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}\cdot d^{3}}}{\Bigg ]}=x$$\Rightarrow {\frac {2\cdot (1500\%+500\%{\sqrt {5}})}{\pi \cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{\Big )}}}=x.$

Utilizando ${\sqrt {5}}\cong 2,24$ e $\pi \cong 3,14$:

${\frac {2\cdot (1500\%+500\%\cdot 2,24)}{3,14\cdot {\Big (}5{\sqrt {10+2\cdot 2,24}}+{\sqrt {50+10\cdot 2,24}}{\Big )}}}\cong x$$\Rightarrow {\frac {5240\%}{3,14\cdot {\Big (}5{\sqrt {14,48}}+{\sqrt {72,4}}{\Big )}}}\cong x.$

Ainda, sendo ${\sqrt {14,48}}\cong 3,81$ e ${\sqrt {72,4}}\cong 8,51$:

${\frac {5240\%}{3,14\cdot {\Big (}5\cdot 3,81+8,51{\Big )}}}\cong x$$\Rightarrow {\frac {5240\%}{86,54}}\cong x$$\Rightarrow 60,55\%\cong x.$

Ver também

• Poliedro
• Polígono regular