Matriz circulante

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Em matemática, uma matriz circulante é uma matriz quadrada em que cada linha i é formada por um deslocamento cíclico de i posições de uma mesma lista de elementos {a0,a1,a2 ... an-1}, ou seja


 \mathbf{A} = \begin{bmatrix}
  a_0     & a_1     & a_2    & \ldots  & \ldots  & a_{n-1}  \\
  a_{n-1} & a_0     & a_1    & \ddots  &         & \vdots \\
  a_{n-2} & a_{n-1} & \ddots & \ddots  & \ddots  & \vdots \\
  \vdots  & \ddots  & \ddots & \ddots  & a_1     & a_2 \\
  \vdots  &         & \ddots & a_{n-1} & a_0     & a_1 \\
  a_1     & \ldots  & \ldots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_0
\end{bmatrix} \qquad \qquad (1a)


que é um caso especial de matriz de Toeplitz. Toda matriz circulante é um quadrado latino. Uma definição alternativa e equaivalente a (1a) é

 \mathbf{A}_{k,j} = a_{(j - k) \; mod \; n} \qquad 0 \;\le\; k,j \;\le\; n - 1 \qquad (1b)

onde mod é a função módulo e n é o número de linhas de A[1] [2] [3] .

Autovalores e autovetores[editar | editar código-fonte]

Os autovalores λ e autovetores v de A são facilmente calculados:

 \lambda_m = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_k \cdot e^{\frac{-2 \pi i m k }{n}} \qquad 0 \;\le\; m \;\le\; n - 1 \qquad (2a)
 \mathbf{v}_m = \sqrt{\frac{1}{\pi}} \; \left[ 1,e^{\frac{-2 \pi i m }{n}}, \;...\; e^{\frac{-2 \pi i m (n-1)}{n}} \right] \qquad 1 \;\le\; m \;\le\; n - 1 \qquad (2b)

A equação (2a) indica que os autovalores de uma matriz circulante qualquer são a transformada discreta de Fourier (DFT) do vetor a = [a0,a1,a2 ... an-1]. Por isso vale também a relação inversa

 a_k = \frac{1}{n} \; \sum_{j = 0}^{n - 1} \lambda_j \cdot e^{\frac{-2 \pi i j k }{n}} \qquad 0 \;\le\; k \;\le\; n - 1 \qquad (3a)

Em suma, a sequência dos autovalores de uma matriz circulante são iguais à DFT da primeira linha dessa matriz, e essa primeira linha da matriz é igual à DFT inversa da sequência dos autovalores.

A propriedade elementar dos autovalores λ e dos autovetores v de uma matriz qualquer B

 \mathbf{B} \; \mathbf{v}_m = \lambda_m \; \mathbf{v}_m

pode ser escrita de forma alternativa e equivalente como

 \mathbf{B} \; \mathbf{V} = \mathbf{\Lambda} \; \mathbf{V} \qquad (2c)

onde V é a matriz composta pelos autovetores dispostos verticalmente

 \mathbf{V} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_0 & \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \ldots & \ldots &\mathbf{v}_{n-1} \end{bmatrix} \qquad (2d)

e Λ é a matriz diagonal formada pelos autovalores

 \mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix}
  \lambda_0 & 0  & 0 & \ldots  & \ldots  & 0 \\
  0 & \lambda_1  & 0 & \ddots  &         & \vdots \\
  0 & 0 & \ddots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
  \vdots  & \ddots  & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\
  \vdots  &         & \ddots & 0 & \lambda_{n - 2} & 0 \\
  0 & \ldots & \ldots & 0 & 0 & \lambda_{n - 1}
\end{bmatrix} \qquad \qquad (2e)

A equação (2b) garante que, para toda matriz circulante, V é uma matriz unitária e que

 \mathbf{V} \; \mathbf{V}^* = \mathbf{V}^* \; \mathbf{V} = \mathbf{I} \qquad (2f)

onde o asterisco (*) denota a matriz transposta conjugada e I é a matriz identidade de n linhas. Substituindo (2f) em (2c), temos que, para uma matriz circulante qualquer A

 \mathbf{A} = \mathbf{V} \; \mathbf{\Lambda} \; \mathbf{V}^* \qquad (2g)
 \mathbf{\Lambda} = \mathbf{V}^* \; \mathbf{A} \; \mathbf{V} \qquad (2h)

A equação (2g) indica que toda matriz circulante é uma matriz normal[4] [nota 1] .

Propriedades algébricas[editar | editar código-fonte]

Se A e C são matrizes circulantes, então valem as seguintes propriedades:

Produto[editar | editar código-fonte]

 \mathbf{A} \; \mathbf{C} = \mathbf{C} \; \mathbf{A} = \mathbf{D} = \mathbf{V} \; \mathbf{L} \; \mathbf{V}^* \qquad (4a)

onde L é a matriz diagonal cujos elementos são o produto dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.

Adição[editar | editar código-fonte]

 \mathbf{A} \;+\; \mathbf{C} = \mathbf{D} = \mathbf{V} \; \mathbf{L} \; \mathbf{V}^* \qquad (4b)

onde L é a matriz diagonal cujos elementos são a soma dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.

Inversa[editar | editar código-fonte]

Se nenhum autovalor for nulo, então A é inversível e

 \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{V} \; \mathbf{\lambda}^{-1} \; \mathbf{V}^* \qquad (4c)

A-1 é também uma matriz circulante[5] [3] .

Linearidade[editar | editar código-fonte]

Se a e b são escalares, então D = aA + bC é também uma matriz circulante[3] .

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Como V é unitária, V* = V-1, (2g) e (2h) podem ser escritas também assim:
     \mathbf{A} = \mathbf{V} \; \mathbf{\Lambda} \; \mathbf{V}^{-1}
     \mathbf{\Lambda} = \mathbf{V}^{-1} \; \mathbf{A} \; \mathbf{V}


Referências

  1. Gray, R. - Toeplitz and Circulant Matrices: A review, cap. 1, pág. 3, disponível em http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf, acessado em 06/05/2014
  2. MathWorld: Circulant Matrix, disponível em http://mathworld.wolfram.com/CirculantMatrix.html, acessado em 06/05/2014
  3. a b c Bronson, R. - Matrix Operations, cap. 18, pág. 160, 1989, McGraw-Hill, ISBN 0-07-007978-1
  4. Gray, R. - op. cit., cap. 3, pp. 32 a 34
  5. Gray, R. - op. cit., cap. 3, pp. 34 a 35