Aritmética modular

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Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem um certo valor, o módulo.

O matemático suiço Euler foi o pioneiro na abordagem de congruência por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congruência módulo um número natural N.[1]

A aritmética modular foi desenvolvida posteriormente por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801.

O relógio usa aritmética módulo 12.

Um uso familiar da aritmética modular é no relógio de ponteiro, no qual o dia é divido em dois períodos de 12 horas cada. Se a hora é 7 horas agora, então daqui a 8 horas serão 3 horas. A adição usual sugere que o tempo futuro deveria ser 7 + 8 = 15, mas esta é a resposta errada por que o relógio "volta pra tràs" a cada 12 horas; não existe "15 horas" no relógio de ponteiro. Da mesma forma, se o relógio começa em 12:00(meio dia) e 21 horas passam, então a hora será 9:00 do dia seguinte, em vez de 33:00. Como o número de horas começa de novo depois que atinge 12, esta aritmética é chamada aritmética módulo 12. 12 é congruente não só a 12 mesmo, mas também a 0, assim a hora chamada "12:00" pode também ser chamada "0:00", pois 0 ≡ 12 mod 12.

Relação de congruência[editar | editar código-fonte]

Aritmética modular pode ser tratada matematicamente introduzindo uma relação de congruência no conjunto dos inteiros que é compatível com as operações do anel dos inteiros: adição, subtração e multiplicação. Para um inteiro positivo n, dois inteiros a e b são ditos congruêntes (ou côngruos) módulo n, e escrevemos

a \equiv b \pmod n,

quando a diferença deles a-b. é um inteiro múltiplo de n. O número n é chamado o módulo da congruência.

Por exemplo,

38 \equiv 2 \pmod {12}

pois 38 − 2 = 36, que é múltiplo de 12.

A mesma regra é vale para valores negativos:

 -8 \equiv 7 \pmod 5.
 2 \equiv -3 \pmod 5.
 -3 \equiv -8 \pmod 5.

Se a e b são ou os dois positivos ou os dois negativos, então a \equiv b \pmod n pode ser visto como a afirmação de que a/n e b/n tem o mesmo resto. Por exemplo

38 \equiv 14 \pmod {12}

porque ambos 38/12 e 14/12 tem o mesmo resto 2. Observe que também tem-se 38 - 14 = 24 um inteiro multiplo de 12, concordando com a definição inicial de relação de congruência.

Uma observação sobre a notação: Como é comum considerar várias relações de congruência com diferentes módulos ao mesmo tempo, o módulo é incorporado na notação. Mesmo a notação sendo ternária a relação de congruência para um módulo fixado é uma relação binária. Isto deve estar claro se a notação a n b for usada, em vez da notação tradicional.

As propriedades que fazem desta relação uma relação de congruência (com respeito à adição, subtração e multiplicação) são as seguintes.

Se

a_1 \equiv b_1 \pmod n

e

a_2 \equiv b_2 \pmod n,

então:

  • a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod n
  • a_1 - a_2 \equiv b_1 - b_2 \pmod n

Deve-se notar que as propriedades acima continuam válidas se expandirmos a teoria para incluir todos os números reais, mas a propriedade seguinte não vale necessariamente nesse contexto ampliado

  •  a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod n.

Não se faz divisão em congruências, ao invés disso, faz-se uma multiplicação em ambos os membros por um número conveniente.

Pelo fato de todo número ter resto 0 na divisão por 1 não é interessante usarmos o módulo 1,pois para quaisquer a e b inteiros sempre teremos a\equiv b\equiv0\mod{1}.

Anel de classes de congruência[editar | editar código-fonte]

Como qualquer relação de congruência, congruência módulo n é uma relação de equivalência, e as classes de equivalência do inteiro a, denotada por \overline{a}_n, é o conjunto \left\{\ldots, a - 2n, a - n, a, a + n, a + 2n, \ldots \right\}. Este conjunto, consistindo dos inteiros congruentes a a modulo n, é chamado a classe de congruência ou classe de resíduos ou simplesmente resíduo do inteiro a, modulo n. Quando o módulo n é conhecido pelo contexto, este resíduo também pode ser denotado por \displaystyle [a].

O conjunto de todas as classes de congruência módulo n é denotado \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ou \mathbb{Z}/n (a notação alternativa \mathbb{Z}_n não é recomendada por causa da possível confusão com o conjunto dos inteiros p-ádicos). E é definida por : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{a}_n | a \in \mathbb{Z}\right\}.

Quando n\neq 0, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} tem n elementos, e pode ser escrita como:

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n,\ldots, \overline{n-1}_n \right\}.

Quando n = 0, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} não tem elementos não nulos; daí é isomorfo a \mathbb{Z}, pois \overline{a}_0 = \left\{a\right\}.

Podemos definir adição, subtração e multiplicação em \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} pelas seguintes regras:

  • \overline{a}_n + \overline{b}_n = \overline{(a + b)}_n
  • \overline{a}_n - \overline{b}_n = \overline{(a - b)}_n
  • \overline{a}_n \overline{b}_n = \overline{(ab)}_n.

A verificação que esta é uma definição adequada usa as propriedades mencionadas antes.

Desta forma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} se torna um anel comutativo. Por exemplo, no anel \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}, temos

\overline{12}_{24} + \overline{21}_{24} = \overline{9}_{24}

como na aritmética do relógio de ponteiro.

A notação \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} é usada, por que ele é anel quociente de \mathbb{Z} pelo ideal n\mathbb{Z} consistindo de todos os inteiros divisíveis por n, onde 0\mathbb{Z} é o conjunto unitário \left\{0\right\}. Assim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} é um corpo quando n\mathbb{Z} é um ideal máximal, ou seja, quando n é primo.

Em termos de grupos, a classe de resíduos \overline{a}_n é a classe lateral de a no grupo quociente \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, um grupo cíclico.[2]

O conjunto \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} tem várias propriedades matemáticas importantes que são o fundamento de vários ramos da matemática.

Em vez de excluir o caso n=0, é mais útil incluir \mathbb{Z}/0\mathbb{Z} (que, como mencionado antes, é isomorfo ao anel \mathbb{Z} dos inteiros), por exemplo quando discutindo característica de um anel.

Restos[editar | editar código-fonte]

A noção de aritmética modular está relacionada com a de resto da divisão. A operação de achar o resto é algumas vezes chamada de operação módulo, nesse contexto escrevemos, por exemplo, 2 = 14 (mod 12). A diferença está no uso da congruência, indicado por "≡", e da igualdade indicado por "=". Igualdade implica especificamente o "resíduo comum", o menor inteiro não negativo membro de uma classe de equivalência. Quando estamos trabalhando com aritmética modular, cada classe de equivalência é geralmente representada pelo seu resíduo comum, por exemplo 38 ≡ 2 (mod 12), que pode ser encontrado usando divisão longa. Segue disso que enquanto é correto dizer 38 ≡ 14 (mod 12) e 2 ≡ 14 (mod 12), é incorreto dizer 38 = 14 (mod 12) (com "=" no lugar de "≡").

A diferença é mais clara quando estamos dividindo um número negativo, por que neste caso os restos são negativos. Assim para expressar o resto devemos escrever −5 ≡ −17 (mod 12), em vez de 7 = −17 (mod 12), pois equivalência só pode ser considerada para resíduos com o mesmo sinal.

Em ciência da computação, o operador resto é normalmente indicado por "%" (e.g. in C, Java, Javascript, Perl e Python) ou "mod" (e.g. in Pascal, BASIC, SQL, Haskell), com exceções(e.g. Excel). Estes operadores são normalmente pronunciados como "mod", mas o que é efetivamente computado é um resto (pois em C++ são retornados números negativos se o primeiro argumento é negativo e em Python um número negativo é retornado se o segundo argumento é negativo). A função modulo em vez de mod, como em 38 ≡ 14 (modulo 12), é algumas vezes usada para indicar um resíduo comum em vez do resto (e.g. em Ruby).

Os parenteses às vezes não são escritos na expressão, por exemplo 38 ≡ 14 mod 12 ou 2 = 14 mod 12, ou são colocados em volta do divisor, por exemplo 38 ≡ 14 mod (12). Notações como 38(mod 12) também existem, mas são ambíguas sem um contexto.

Representação funcional da operação resto[editar | editar código-fonte]

A operação resto pode ser representada usando função piso. Se b=a (mod n), onde n>0, então se o resto é b ele é dado por

b = a - \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor \times n,

onde \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a \frac{a}{n}, então

\begin{array}{lcl}
a \equiv b \pmod n \text{ e,}\\
0 \le b < n.
\end{array}

Se em vez do resto b o intervalo −nb < 0 é requirido, então

b = a - \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor \times n - n.

Sistema de resíduos[editar | editar código-fonte]

Cada classe de resíduo modulo n pode ser representada por um de seus membros, embora nós geralmente representemos cada classe residual pelo menor inteiro não negativo pertencente à classe (pois este é o próprio resto que resulta da divisão). Note que quaisquer dois membros de diferentes classes residuais módulo n são congruentes módulo n. Além disso cada inteiro pertence a uma e somente uma classe residual módulo n.[3]

O conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., n - 1} é chamado o menor sistema de resíduos módulo n . Qualquer outro conjunto de n inteiros, com nenhum par deles congruente módulo n é chamado um sistema completo de resíduos módulo n .

É claro que o menor sistema de resíduos é uma sistema completo de resíduos e que um sistema completo de resíduos é simplesmente um conjunto contendo precisamente um representante de cada classe de resíduo módulo n. O menor sistema de resíduos módulo 4 é {0, 1, 2, 3}. Alguns outros sistemas de resíduos módulo 4 são:

  • {1,2,3,4}
  • {13,14,15,16}
  • {-2,-1,0,1}
  • {-13,4,17,18}
  • {-5,0,6,21}
  • {27,32,37,42}

Alguns conjuntos que não são um sistema completo de resíduos módulo 4 são:

  • {-5,0,6,22} pois 6 é congruente a 22 módulo 4.
  • {5,15} pois um sistema completo de resíduos deve ter exatamente 4 elementos.

Sistemas reduzidos de resíduos[editar | editar código-fonte]

Qualquer conjunto com φ(n) inteiros que são primos com n e que são incongruentes entre si módulo n, onde φ(n) denota a Função totiente de Euler, é chamado um sistema reduzido de resíduos módulo n .

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-eulers-formula
  2. Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Elementos de Álgebra - Rio de Janeiro, IMPA, 2002. 326 páginas (Projeto Euclides), ISBN 978-85-244-0190-9
  3. José Plinio de Oliveira Santos - Introdução à Teoria dos Números - Rio de Janeiro, IMPA, 1998. 198 péginas (projeto Euclides), ISBN 978-85-244-0142-8