Teorema de Euclides

O teorema de Euclides é um resultado fundamental estabelecido em teoria de números que garante a existência de uma infinidade de números primos.

O conjunto formado pelos números primos é infinito.

Existem várias demonstrações bem conhecidas desse teorema.

A demonstração de Euclides

Euclides de Alexandria: "Há mais números primos do que qualquer quantidade proposta de números primos."

Euclides ofereceu uma demonstração em sua obra Os Elementos (Livro IX, Proposição 20), demonstração aqui parafraseada:

Tomando-se $L \,\!$, uma lista finita qualquer de números primos: $L=\left\{p_1, p_2, p_3, ... , p_n \right\}$

Pode-se mostrar que existem números primos que não estão nessa lista. Da seguinte maneira:

Sendo $P \,\!$ o produto de todos os números primos na lista: $P=p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n$

E sendo $\;q=P+1$

Então, $q \,\!$ pode ser primo ou não:

• Se q é primo então há pelo menos um número primo a mais que não está listado.
• Se q não é primo, então algum fator primo p divide q. Esse fator p não está na nossa lista L: se estivesse, ele dividiria P (pois P é o produto de todos os número na lista); mas como sabemos, p divide P + 1 = q. Então, para não deixar resto, p teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (P + 1) − P ou seja, 1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, p não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.

Isso prova que para qualquer lista finita de números primos, há um número primo que não está na lista. Portanto, existem infinitos números primos.

É muitas vezes erroneamente relatado que Euclides provou esse resultado por contradição, iniciando pela suposição de que o conjunto inicialmente considerado contém todos os números primos, ou que contém precisamente os n menores primos, ao invés de qualquer conjunto finito arbitrário de números primos.

Demonstração por contradição

Suponhamos que o conjunto dos números primos seja finito: $\mathbb{P}=\left\{2, 3, 5, ... , p \right\}$.

Assim, tomemos o número $m \,\!$, tal que: $m=(2 \times 3 \times 5 \times ... \times p) + 1$

Note que $m \,\!$ não é divisível por nenhum elemento de $\mathbb{P}$, pois o resto da divisão é sempre 1.

Assim, $m \,\!$ é outro número primo ou é um número composto cujos fatores são números primos que não estão na lista.

Logo, nossa suposição inicial não tem lugar.

Assim, o conjunto dos números primos não é finito. O que prova o Teorema.

Exemplos

Se o conjunto $P\,\!$ que aparece na demonstração do teorema for constituído dos primeiros $r\,\!$ números primos, então as fatorações de $n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!$ para alguns valores de $r\,\!$ são as seguintes:

$r\,\!$	$n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!$	Fatoração de $n\,\!$	Tipo
$1\,\!$	$3 = 2+1\,\!$	$3\,\!$	primo
$2\,\!$	$7 = 2\cdot3 +1\,\!$	$7\,\!$	primo
$3\,\!$	$31 = 2\cdot3\cdot5 +1\,\!$	$31\,\!$	primo
$4\,\!$	$211 = 2\cdot3\cdot5\cdot7 +1\,\!$	$211\,\!$	primo
$5\,\!$	$2311 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 +1\,\!$	$2311\,\!$	primo
$6\,\!$	$30031 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 +1\,\!$	$59\cdot509\,\!$	composto
$7\,\!$	$510511 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17 +1\,\!$	$19\cdot97\cdot277\,\!$	composto

A demonstração de Euler

Leonhard Euler.

A demonstração do matemático suíço Leonhard Euler apoia-se no teorema fundamental da aritmética: que cada número tem uma única fatorização prima. Sendo P o conjunto de todos os números primos, Euler escreveu que:

A demostração de Furstenberg

Ver artigo principal: Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

O matemático israelense Hillel Furstenberg introduziu uma demonstração que usa topologia geral.

Ver também

• Número primo
• Teorema fundamental da aritmética
• Teoria dos números
• Teorema dos números primos
• Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Euclid's Theorem no site MathWorld.
• Elementos de Euclides, Livro IX, Prop. 20 (prova de Euclides)