Série geométrica

A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=1+r+r^2+r^3+\ldots$ (Veja somatório)

Esta série é convergente se e somente se $|r|<1$ e, neste caso, a soma vale:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$ (Veja somatório)

Convergência

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum_{n=0}^{N}r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}$

É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$

Por outro lado, se $|r|\ge 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.

De maneira geral, para qualquer serie geometrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

$\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}$

Onde "a" é o termo inicial da serie.

Exemplos

Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

• $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, ~~|x|<1$
• $\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, ~~|x|<1$
• $\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}, ~~|x|<1$

Ver também

• Wikilivros