Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria elementar dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A rigor, o uso de topologia não desempenha um papel central na demonstração. Na verdade, a topologia tem na demonstração de Fürstenberg mais um papel de linguagem do que de ferramenta indispensável. A prova foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly quando Fürstenberg ainda era um estudante de graduação na Universidade de Yeshiva.

A demonstração de Fürstenberg

Dados inteiros $a, b$, em que $a \neq 0$, defina $S(a, b) = \{an + b : n\in\mathbb{Z}\} = a\mathbb{Z} + b$. Podemos chamar um conjunto da forma $S(a, b)$ de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos $x \geq b$ é uma progressão aritmética de termo inicial $b$ e razão igual a $|a|$; e a ordenação dos elementos $x \leq b$ uma progressão aritmética de termo inicial também $b$ e razão, porém, igual a $-|a|$.

Considere a coleção $\tau = \{$X : X é um CA ou uma união de CAs$\}\cup\{\varnothing\}$ de subconjuntos de $\mathbb{Z}$. Tal coleção é uma topologia sobre $\mathbb{Z}$ (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados:

• Por definição, o conjunto vazio $\varnothing$ é aberto; e o espaço inteiro $\mathbb{Z}$ também, já que $S(1, 0) = \mathbb{Z}$;
• União arbitrária de elementos de $\tau$ é ainda um elemento de $\tau$;
• A interseção de dois elementos de $\tau$ pertence ainda a $\tau$: dados $U_1, U_2 \in \tau$ e $x \in U_1 \cap U_2$, sejam $a_1$ e $a_2$ inteiros tais que $S(a_1, x) \subseteq U_1$ e $S(a_2, x) \subseteq U_2$; e seja $a$ o mínimo múltiplo comum de $a_1$ e $a_2$. Então, como $S(a, x) \subseteq S(a_1, x) \subseteq U_1$ e $S(a, x) \subseteq S(a_2, x) \subseteq U_2$, $S(a, x) \subseteq U_1\cap U_2$.

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:

1. Se $X\neq\varnothing$ é finito, então $X\not\in\tau$ e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado.
2. Os abertos básicos $S(a, b)$ são também conjuntos fechados, pois é possível escrever $S(a, b)$ como o complementar de um conjunto aberto:

$S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j).$

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

$\mathbb{Z} \setminus \{ -1, 1 \} = \bigcup_{p \mathrm{\, primo}} S(p, 0).$

Pela primeira propriedade, o conjunto $\mathbb{Z}\setminus\{-1, 1\}$ não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos $S(p, 0)$ são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que $\bigcup_{p \mathrm{\, primo}} S(p, 0)$ é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

Ligações externas

• (em inglês) Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers no Everything2
• (em inglês) Fürstenberg's proof of the infinitude of primes no PlanetMath
• (em inglês) Fürstenberg's Proof of the Infinitude of Primes no The Prime Pages
• (em inglês) Infinitude of Primes - A Topological Proof no Cut The Not
• (em inglês) Infinitude of Primes - A Topological Proof without Topology no Cut The Not