Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

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O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria elementar dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A rigor, o uso de topologia não desempenha um papel central na demonstração. Na verdade, a topologia tem na demonstração de Fürstenberg mais um papel de linguagem do que de ferramenta indispensável. A prova[1] foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly quando Fürstenberg ainda era um estudante de graduação na Universidade de Yeshiva.

A demonstração de Fürstenberg[editar | editar código-fonte]

Dados inteiros a, b, em que a \neq 0, defina S(a, b) = \{an + b : n\in\mathbb{Z}\} = a\mathbb{Z} + b. Podemos chamar um conjunto da forma S(a, b) de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos x \geq b é uma progressão aritmética de termo inicial b e razão igual a |a|; e a ordenação dos elementos x \leq b uma progressão aritmética de termo inicial também b e razão, porém, igual a -|a|.

Considere a coleção  \tau = \{X : X é um CA ou uma união de CAs\}\cup\{\varnothing\} de subconjuntos de \mathbb{Z}. Tal coleção é uma topologia sobre \mathbb{Z} (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados:

  • Por definição, o conjunto vazio \varnothing é aberto; e o espaço inteiro \mathbb{Z} também, já que S(1, 0) = \mathbb{Z};
  • União arbitrária de elementos de \tau é ainda um elemento de \tau;
  • A interseção de dois elementos de \tau pertence ainda a \tau: dados U_1, U_2 \in \tau e x \in U_1 \cap U_2, sejam a_1 e a_2 inteiros tais que S(a_1, x) \subseteq U_1 e S(a_2, x) \subseteq U_2; e seja a o mínimo múltiplo comum de a_1 e a_2. Então, como S(a, x) \subseteq S(a_1, x) \subseteq U_1 e S(a, x) \subseteq S(a_2, x) \subseteq U_2, S(a, x) \subseteq U_1\cap U_2.

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:

  1. Se X\neq\varnothing é finito, então X\not\in\tau e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado.
  2. Os abertos básicos S(a, b) são também conjuntos fechados, pois é possível escrever S(a, b) como o complementar de um conjunto aberto:
S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j).

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

\mathbb{Z} \setminus \{ -1, 1 \} = \bigcup_{p \mathrm{\, primo}} S(p, 0).

Pela primeira propriedade, o conjunto \mathbb{Z}\setminus\{-1, 1\} não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos S(p, 0) são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que \bigcup_{p \mathrm{\, primo}} S(p, 0) é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

Referências[editar | editar código-fonte]

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