Teorema fundamental da aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética

Teorema

Seja $a>1\,\!$ um inteiro positivo. Então, existem primos positivos ${p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t}$ tais que $a=p_1p_2...p_t\,\!$, e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para $a=2\,\!$ existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro ${b},\ {2}\le{b}<a$. Mostraremos que também vale para $a\,\!$.

Se $a\,\!$ é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, $a\,\!$ admite um divisor positivo $b\,\!$ tal que $1<b<a\,\!$. Isto é, $a=bc\,\!$, e temos também $1<c<a\,\!$. Pela hipótese de indução, $b\,\!$ e $c\,\!$ podem ser escritos como produtos de primos, na forma $b=p_1...p_s\,\!$, $c=q_1...q_k\,\!$.

Substituindo, temos $a=p_1...p_sq_1...q_k\,\!$, e o resultado também vale para $a\,\!$.

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro $a\,\!$, ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de $a\,\!$.

Suponhamos que $a\,\!$ admita uma decomposição do tipo $a=p_1\,\!$, onde $p_1\,\!$ é primo, e que vale

$a=p_1=q_1q_2...q_s\,\!$,

em que ${q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s}$ são primos positivos. Como $q_1\,\!$ divide $q_1q_2...q_s\,\!$, $q_1\,\!$ também divide $p_1\,\!$, que é primo. Então, devemos ter $p_1=q_1\,\!$. Cancelando, vem $1=q_2...q_s\,\!$. Se $s>1\,\!$, teríamos que o primo $q_2\,\!$ seria invertível, uma contradição. Assim, $s=1\,\!$ e, como já provamos que $p_1=q_1\,\!$, o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento ${k}\ge{1}$, e seja $a\,\!$ um inteiro com uma decomposição de comprimento $k+1\,\!$. Se $a\,\!$ admitisse outra decomposição, temos

$a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s\,\!$,

em que ${q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s}$ são primos positivos.

Como na primeira parte, $q_1\,\!$ divide $p_1...p_{k+1}\,\!$ e temos que $q_1\,\!$ divide $p_i\,\!$, para algum $i\,\!$ (Lema de Euclides). Como $p_i\,\!$ é primo, devemos ter novamente que $q_1=p_i\,\!$. Em particular, ${q_1}\ge{p_1}$.

De forma análoga, pode-se obter que $p_1=q_j\,\!$, para algum j. Logo, ${p_1}\ge{q_1}$. De ambas as desigualdades, vem que $p_1=q_1\,\!$. Finalmente, cancelando em $a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s\,\!$, temos que

$p_2...p_{k+1}=q_2...q_s\,\!$.

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento $k\,\!$, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos $k=s-1\,\!$, donde $k+1=s\,\!$ e $p_i=q_i\,\!$, para $i=2,...,k+1\,\!$. Como já provamos que $p_1=q_1\,\!$, ambas as expressões de $a\,\!$ coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de $a\,\!$, podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética

Seja $a\,\!$ um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos $p_1<p_2<...<p_r\,\!$ e inteiros positivos $n_1, n_2, ..., n_r\,\!$ tais que $\,\!a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}$. Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que $a=\pm|a|\,\!$, conforme $a\,\!$ seja positivo ou negativo. Como $|a|\,\!$ é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos ${p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t}$ tais que

$a=\pm p_1p_2...p_t\,\!$.

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

$a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}\,\!$.

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver também

• Teoria dos números
• Número primo

Referências

• Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.