Teorema fundamental da aritmética

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O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética[editar | editar código-fonte]

Teorema[editar | editar código-fonte]

Seja a>1\,\! um inteiro positivo. Então, existem primos positivos {p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t} tais que a=p_1p_2...p_t\,\!, e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para a=2\,\! existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro {b},\ {2}\le{b}<a. Mostraremos que também vale para a\,\!.

Se a\,\! é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, a\,\! admite um divisor positivo b\,\! tal que 1<b<a\,\!. Isto é, a=bc\,\!, e temos também 1<c<a\,\!. Pela hipótese de indução, b\,\! e c\,\! podem ser escritos como produtos de primos, na forma b=p_1...p_s\,\!, c=q_1...q_k\,\!.

Substituindo, temos a=p_1...p_sq_1...q_k\,\!, e o resultado também vale para a\,\!.

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro a\,\!, ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de a\,\!.

Suponhamos que a\,\! admita uma decomposição do tipo a=p_1\,\!, onde p_1\,\! é primo, e que vale

a=p_1=q_1q_2...q_s\,\!,

em que {q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s} são primos positivos. Como q_1\,\! divide q_1q_2...q_s\,\!, q_1\,\! também divide p_1\,\!, que é primo. Então, devemos ter p_1=q_1\,\!. Cancelando, vem 1=q_2...q_s\,\!. Se s>1\,\!, teríamos que o primo q_2\,\! seria invertível, uma contradição. Assim, s=1\,\! e, como já provamos que p_1=q_1\,\!, o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento {k}\ge{1}, e seja a\,\! um inteiro com uma decomposição de comprimento k+1\,\!. Se a\,\! admitisse outra decomposição, temos

a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s\,\!,

em que {q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s} são primos positivos.

Como na primeira parte, q_1\,\! divide p_1...p_{k+1}\,\! e temos que q_1\,\! divide p_i\,\!, para algum i\,\! (Lema de Euclides). Como p_i\,\! é primo, devemos ter novamente que q_1=p_i\,\!. Em particular, {q_1}\ge{p_1}.

De forma análoga, pode-se obter que p_1=q_j\,\!, para algum j. Logo, {p_1}\ge{q_1}. De ambas as desigualdades, vem que p_1=q_1\,\!. Finalmente, cancelando em a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s\,\!, temos que

p_2...p_{k+1}=q_2...q_s\,\!.

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento k\,\!, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos k=s-1\,\!, donde k+1=s\,\! e p_i=q_i\,\!, para i=2,...,k+1\,\!. Como já provamos que p_1=q_1\,\!, ambas as expressões de a\,\! coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de a\,\!, podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética[editar | editar código-fonte]

Seja a\,\! um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos p_1<p_2<...<p_r\,\! e inteiros positivos n_1, n_2, ..., n_r\,\! tais que \,\!a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}. Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que a=\pm|a|\,\!, conforme a\,\! seja positivo ou negativo. Como |a|\,\! é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos {p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t} tais que

a=\pm p_1p_2...p_t\,\!.

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}\,\!.

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.