Lema fundamental do cálculo das variações

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Em matemática, em especial em cálculo das variações, o lema fundamental dos cálculos da variações ou do cálculo variacional é uma lema que é tipicamente utilizado para transformar um problema em sua formulação fraca (forma variacional) na sua forma forte (equação diferencial).

Seja f uma função de classe C^k no intervalo [a,b]. Supomos ainda que

 \int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0

para toda função h que de classe C^k em [a,b] com h(a) = h(b) = 0. Então, o lema fundamental do cálculo das variações afirma que f(x) é identicamente nula no intervalo aberto (a,b).

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Este lema é utilizado para provar que os extremos de um funcional

 J[L(t,y,\dot y)] = \int_{x_0}^{x_1} L(t,y,\dot y) \, dt

são as soluções fracas da equação de Euler-Lagrange

 {\partial L(t,y,\dot y) \over \partial y} = {d \over dt} {\partial L(t,y,\dot y) \over \partial \dot y} .

As equações de Euler-Lagrange possuem um papel importante em mecânica clássica e geometria diferencial.

Referências[editar | editar código-fonte]