Pontos extremos de uma função

Esta função tem um mínimo global em x=-3, um máximo local em x=0 e um mínimo local em x=2.

Em matemática em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que $M\,$ e $m\,$ valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio $x_m\,$ e $x_M\,$ tais que:

$m=f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M)=M$, para todo $x\,$ no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Exemplos

• $f(x)=x^2\,$ definida na reta admite um mínimo em $x=0\,$ mas não admite máximo.
• $f(x)=\sin(x)\,$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Pontos críticos

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real diferenciável em um domínio $D\,$ contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja $x_0\,$ um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,$

Podemos supor que $h\,$ é suficientemente pequeno de forma que $f(x_0+h) \leq f(x_0)\,$. O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0\,$

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0\,$

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Ver também

• Multiplicadores de Lagrange, método para encontrar extremos de uma função.