Pontos extremos de uma função

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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Ponto crítico (funções). Pode-se discutir o procedimento aqui. (desde junho de 2012)
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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Ponto crítico (sistemas dinâmicos). Pode-se discutir o procedimento aqui. (desde junho de 2012)
Esta função tem um mínimo global em x=-3, um máximo local em x=0 e um mínimo local em x=2.

Em matemática em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que M e m valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio x_m e x_M tais que:

m=f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M)=M, para todo x no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • f(x)=x^2 definida na reta admite um mínimo em x=0 mas não admite máximo.
  • f(x)=\sin(x) definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Pontos críticos[editar | editar código-fonte]

Seja f:D\to\mathbb{R} uma função real diferenciável em um domínio D contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja x_0 um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Podemos supor que h é suficientemente pequeno de forma que f(x_0+h) \leq f(x_0). O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0
f'(x_0)=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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