Derivada parcial

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Em matemática, uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Este conceito é útil no cálculo vectorial e geometria diferencial.

A derivada parcial de uma função em relação ao seu argumento x_i é representada \frac{\partial f(x_1, ..., x_n)}{\partial x_i}.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Um gráfico z = x2 + xy + y2. Para a derivada parcial em (1, 1, 3) que deixa y constante, a linha tangente correspondente é paralela ao plano xz.
Um gráfico z = x2 + xy + y2. Para a derivada parcial em (1, 1, 3) que deixa y constante, a linha tangente correspondente é paralela ao plano xz.
Uma pedaço do gráfico acima, em y= 1
Uma pedaço do gráfico acima, em y= 1

Suponha-se que ƒ é uma função de mais de uma variável. Para obter-se uma instância,

z = f(x,y) = \,\! x^2 + xy + y^2.\,

O gráfico desta função define uma superfície no espaço euclidiano. Para cada ponto sobre esta superfície, há um número infinito de linhas tangenciais. Diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar o seu declive. Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao plano xz, e aquelas que são paralelos ao plano yz(que resultam da exploração ou y ou x constante, respectivamente.)

Para determinar o declive da linha tangente à função de P (1, 1, 3) que é paralela ao plano xz, o y variável é tratado como constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. No gráfico abaixo, vemos a forma como a função se comporta y = 1.Ao encontrar a derivada da equação assumindo que y é uma constante, e o declive ƒ no ponto(x, y, z) é:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y

Então, em (1, 1, 3), por substituição, o declive é de 3. portanto

\frac{\partial z}{\partial x} = 3

no ponto. (1, 1, 3). Ou seja, a derivada parcial de z com relação a x em (1, 1, 3) é 3.

Definição de limite[editar | editar código-fonte]

A derivada parcial de uma função de n argumentos (x_1, ..., x_n) pode ser representada através de um limite como sendo

\frac{\part f}{\part x_i}(x_1,\ldots,x_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_1,\ldots,x_i+h,\ldots,x_n) - f(x_1,\ldots,x_n)}{h}.

A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis​​:

Em outras palavras, a cada valor de x define uma função, denotada fx, que é uma função de uma variável . Isto é,

f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,

Uma vez que o valor de x é escolhido, em seguida, f ( x, y) determina a função fa que envia y a a 2 + ay + y 2

f_a(y) = a^2 + ay + y^2. \,

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, então fa é uma função de uma única variável real, sendo y. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se:

f_a'(y) = a + 2y. \,

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Organizando as derivadas juntas em uma função dá uma função que descreve a variação de f na direção de y:

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.\,

Este é o derivado parcial de f em relação a y. Aqui ∂ é um d arredondado, chamado o símbolo derivado parcial. Para distingui-la da letra d, ∂ às vezes é pronunciado "del" ou "parcial" em vez de "dê".

Em geral, a derivada parcial de uma função f(x1,...,xn) na direção no ponto xi (a1, ..., a) é definida como sendo:

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots, a_i, \dots,a_n)}{h}.

No diferença quociente acima, todas as variáveis, exceto xi são mantidas fixas. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n), e, por definição,

\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).

Em outras palavras, as diferentes opções de a indica uma família de funções de uma variável, assim como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais se reduz ao cálculo de uma variável derivada.

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis ​​é o caso de um campo escalar f(x1,...xn) em um domínio no espaço Euclidiano Rn (e.g., on R2 or R3). Neste caso f tem uma derivada parcial ∂f/∂xj com relação a cada variável xj. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vector

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).

Este vector é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos de algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial de valor ∇f que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). Conseqüentemente, o gradiente produz um campo vetorial

Um problema comum de notação é definir o operador nabla (∇) ,como se apresenta em três dimensões espaciais euclidianas R3 com vetores unitários \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}:

\nabla = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x}} \bigg] \mathbf{\hat{i}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial y}}\bigg] \mathbf{\hat{j}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial z}}\bigg] \mathbf{\hat{k}}

Ou, mais geralmente, para o espaço euclidiano de n- dimensões Rn com coordenadas (x1, x2, x3,...,xn) e vetores unitários (\mathbf{\hat{e}_1}, \mathbf{\hat{e}_2}, \mathbf{\hat{e}_3}, \dots , \mathbf{\hat{e}_n}):

\nabla = \sum_{j=1}^n \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_j}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_j} = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_1}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_1} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_2}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_2} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_3}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_3} + \dots + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_n}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_n}

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Como derivadas comuns, a derivada parcial é definida como sendo um limite. Sendo U um conjunto aberto de Rn e f : UR uma função. A derivada parcial de f no ponto a = (a1, ..., an) ∈ U com relação à i- a variável ai é definida como

\frac{ \partial }{\partial a_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) -
f(a_1, \dots, a_i, \dots ,a_n) \over h }

Mesmo se todas as derivados parciais ∂f/∂ai(a) existirem em um determinado ponto a, a função não necessita de ser contínua.

No entanto, se todos as derivadas parciais existirem numa vizinhança de a e são contínuas, então f é o total derivado em que a derivada da vizinhança total é contínua. Neste caso, diz-se que f é uma C1 função.

Isto pode ser utilizado para generalizar funções vetoriais (f : UR'm) com cuidado usando um argumento componente a componente.

A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} pode ser vista como uma outra função definida em U e pode ser novamente parcialmente diferenciada.

Se todas as derivadas parciais de segunda ordem mistas são contínuas em um ponto (ou um conjunto), f é denominado C2 função naquele ponto (ou no conjunto); neste caso, as derivadas parciais podem ser trocadas pelo Teorema de Clairaut-Schwarz:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Volume de um cone[editar | editar código-fonte]

O volume de um cone depende da altura e raio

Considere-se o volume V de um cone; ele depende da altura do cone h e do seu raio r de acordo com a fórmula

V = \frac{ r^2 h \pi }{3}

A derivada parcial de V com relação a r é

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}

e descreve a taxa com que o volume de um cone aumenta à medida que o seu raio também aumenta e a sua altura é mantida constante. A derivada parcial relativamente a h é

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}

Em contraste, a derivada total de V em relação à r e h são respectivamente

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}

e

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}

A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação de dependências indiretas entre as variáveis ​​nas derivadas parciais.

Se (por alguma razão arbitrária) proporções do cone têm de permanecer as mesmas, e a altura e raio estando em uma relação fixa k, temos

k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.

Isto dá a derivada total no que se relaciona a r:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k

Que simplifica para:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = k\pi r^2

Do mesmo modo, a derivada total no que refere a h é:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \pi r^2

Equações envolvendo derivadas parciais de uma função desconhecida são chamadas de equação diferencial parcial e são comuns em física, engenharia e outras ciências e disciplinas aplicadas.