Derivada parcial

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Em matemática, uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Este conceito é útil no cálculo vectorial e geometria diferencial.

A derivada parcial de uma função em relação ao seu argumento $x_i$ é representada $\frac{\partial f(x_1, ..., x_n)}{\partial x_i}$.

Definição de limite

A derivada parcial de uma função de n argumentos $(x_1, ..., x_n)$ pode ser representada através de um limite como sendo

$\frac{\part f}{\part x_i}(x_1,\ldots,x_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_1,\ldots,x_i+h,\ldots,x_n) - f(x_1,\ldots,x_n)}{h}.$

Exemplos

Volume de um cone

Considere-se o volume V de um cone; ele depende da altura do cone h e do seu raio r de acordo com a fórmula

$V = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

A derivada parcial de V com relação a r é

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}$

e descreve a taxa com que o volume de um cone aumenta à medida que o seu raio também aumenta e a sua altura é mantida constante. A derivada parcial relativamente a h é

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

e representa a taxa com que o volume aumenta à medida que a altura aumenta e o raio é mantido constante.