Mecânica estatística

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A mecânica estatística (ou física estatística) é o ramo da física que estuda o comportamento de sistemas com elevado número de entidades constituintes a partir do comportamento destas entidades. Os constituintes podem ser átomos, moléculas, íons, entre outros. É uma teoria reducionista, em oposição à holística termodinâmica, que tem feição fenomenológica.

O estudo de tais sistemas em toda a sua complexidade é pouco prático ou mesmo inviável. Para contornar essa dificuldade o que se faz é esboçar um conjunto de simplificações e atribuir uma série de vínculos matemáticos, como a hipótese ergódica. Além disso, a mecânica estatística divide-se em áreas: mecânica estatística quântica, mecânica estatística de equilíbrio, mecânica estatística do não-equilíbrio, etc.

Histórico[editar | editar código-fonte]

Pode-se dizer que a mecânica estatística nasceu dos trabalhos de James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann. Dos estudos sobre as partículas constituintes dos gases (átomos e moléculas) e dos níveis de energia resultou uma grande quantidade de informações sobre as grandezas macroscópicas baseadas somente nas grandezas microscópicas médias.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A Propriedade central da mecânica estatística é a utilização de métodos estatísticos para a formulação de uma teoria cinética ,para átomos e moléculas, com o intuito de explicar as propriedades dos mesmos em um nível macroscópico da natureza.[1]

Um teorema chave é o valor médio da energia cinética das moléculas de um gás a uma certa temperatura T é

\frac{1}{2}k_{B}T (graus de liberdade).

A distribuição de Boltzmann é um resultado muito conhecido na física , que relaciona a Termodinâmica com a Mecânica Estatística.[1]

Exemplo

a distribuição de moléculas na atmosfera - desconsiderando ventos e que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Supondo que N é o número de moléculas total em um volume V de um gás ; a pressão P, então temos que:

PV = NRT , ou P = nkBT, onde n = N/V sendo o número de moléculas por unidade de volume. A temperatura sendo uma constante, a sua pressão será proporcional á sua densidade.

A pressão sobre uma camada h + dh deve ser tal a balancear o peso.

A variação de densidade em função da altitude se dá se tomarmos uma unidade de área com altura h sua força vertical será a força sobre a área sendo representado por P (pressão).

Um sistema em equilíbrio , suas forças nas moléculas deverão ser balanceadas ou nulas sendo h+dh a pressão feita na área inferior da camada que deve superar a pressão sobre a área de cima da camada assim balanceando com o peso.

sendo que mg é a força da gravidade em cada molécula, ndh é o número total das moléculas em cada área.[1] Com todas essas informações obtemos a equação diferencial que representa o equilíbrio

P_{h} + dh - P_{h} = dP = -mgndh

assim tendo P = nkBT e também T como constantes , eliminando-se P ficamos com a equação para n

\frac{dn}{dh} = {mg}{k_{B}T}n

Temos a variação da densidade em função da altura na atmosfera do exemplo.

n = n_{0} e^{-mgh/k_{B}T}, \qquad n_{0} \; \text{densidade em relação à} \; h = 0

a gráfico a seguir ilustra a densidade em relação à altura.

Densidade de átomos n em função da altura h

o numerador do expoente da equação anterior representa a energia potencial para cada átomo, sendo sua densidade em cada ponto igual a

e^{-\in/k_{B}T}

sendo que \in é a energia potencial de cada átomo.

Supondo que haja diversas forças em atuação nos átomos, exemplificando: sendo elas - as forças - carregadas e estejam sob forte influência de um campo elétrico ou haja atração entre elas.

Havendo um tipo apenas de molécula a força em uma porção de gás será a força sobre uma molécula \times o número de moléculas nessa mesma porção. Tendo que a força age na direção x. Semelhante em sua forma do problema da atmosfera, tomando dois planos paralelos no gás apenas separados por uma distância representada por dx, então a força sobre cada átomo vezes a densidade n vezes dx deve ser balanceada pela diferença de pressão, ou seja,

Fndx = dP = k_{b}T\;dn

sendo dW = -Fdx o trabalho feito sobre uma molécula ao transportá-la de x até x+dx, seu trabalho é igual á diferença de energia potencial (ao quadrado) >U assim,

dU = -Fdx

obtemos da equação de força anterior

\frac{dn}{n} = - \frac{dU}{k_{B}T}

resultando em

n = n_{0} e^{-U/k_{B}T}

U sendo a variação de energia do estado final e inicial.

Esta ultima expressão é tratada sendo a Lei de Boltzmann e pode ser interpretada assim: a probabilidade de encontrar moléculas em uma dada configuração espacial e tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura. Tal probabilidade diminui exponencialmente com a energia divida por kBT.

Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Conjunto microcanônico[editar | editar código-fonte]

Um conjunto microcanônico é um conjunto de réplicas de microssistemas identicamente preparados. Cada réplica tem os mesmos possíveis valores de massa(m), volume(V) e energia (E), mas cada uma pode evoluir diferentemente através do espaço de configurações. No conjunto microcanônico não há troca de calor entre o sistema e o exterior e o número de partículas é fixo.

Conjunto canônico[editar | editar código-fonte]

Semelhantemente, um conjunto canônico é um conjunto de réplicas de um sistema, identicamente preparados, onde cada um tem valores definidos de massa(m), volume(V) e temperatura(T). No conjunto canônico o número de partículas é fixo, mas o sistema se encontra em um banho térmico, ou seja, há troca de calor com o ambiente.

Conjunto grão-canônico[editar | editar código-fonte]

No conjunto grão-canônico o sistema pode trocar calor e partículas, ou seja, o número de partículas pode variar.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Salinas, Sílvio R. A. Física estatística. [S.l.]: Editora da Universidade de São Paulo, 1999. ISBN 8531403863.
  • Huang, Kerson. Statistical mechanics. [S.l.]: Wiley, John & Sons, 1990. ISBN 0471815187.
  • Reichl, L. E. A modern course in statistical physics. 2. ed. [S.l.]: Wiley, John & Sons, 1998. ISBN 0471595209.

Referências

  1. a b c Feynman; Mathew Sands. Lições de Física de Feynman (em português). Edição Definitiva, A. ed. [S.l.]: Bookman, 2008. 1798 pp. ISBN 9788577802593. Visitado em 9 de agosto de 2013.