Distribuição de Boltzmann

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Em física a Distribuição de Boltzmann permite calcular a função distribuição para um número fracionário de partículas Ni / N ocupando um conjunto de estados i cada um dos quais tem energia Ei:

{{N_i}\over{N}} = {{g_i e^{-E_i/k_BT}}\over{Z(T)}}

onde k_B é a constante de Boltzmann, T é a temperatura (admitida como sendo uma quantidade precisamente bem definida), g_i é a degeneração, ou número de estados tendo energia E_i, N é o total do número de partículas:

N=\sum_i N_i\,

e Z(T) é chamada função partição, a qual pode ser tratada como sendo igual a

Z(T)=\sum_i g_i e^{-E_i/k_BT}.

Alternativamente, para um sistema único em uma temperatura bem definida, ela dá a probabilidade deste sistema em seu estado específico. A distribuição de Boltzmann aplica-se somente à partículas em uma suficiente alta temperatura e baixa densidade nas quais efeitos quânticos possam ser ignorados, e cujas partículas obedeçam a estatística de Maxwell–Boltzmann. (Veja este artigo para uma derivação da distribuição de Boltzmann.)

A distribuição de Boltzmann é frequentemente expressa em termos de β = 1/kT aonde β refere-se ao beta termodinâmico. O termo e^{-\beta E_i} ou ee^{-E_i/(kT)}, o qual dá a relativa probabilidade (não normalizada) de um estado, é chamada factor de Boltzmann e aparece frequentemente no estudo da física e química.

Quando a energia é simplesmente a energia cinética da partícula

E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mv^{2},

então a distribuição corretamente dá a distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocidades das moléculas do gás, previamente previstas por Maxwell em 1859. A distribuição de Boltzmann é, entretanto, muito mais geral. Por exemplo, ela prediz a variação da densidade de partículas num campo gravitacional em relação à altitude, se E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mv^{2} + mgh. De fato a distribuição aplica-se sempre que as considerações quânticas possam ser ignoradas.

Em alguns casos, uma aproximação contínua pode ser usada. Se há g(EdE estados com energia E a E + dE, quando a distribuição de Boltzmann prediz uma probabilidade de distribuição para a energia:

p(E)\,dE = {g(E) \exp({-\beta E})\over {\int g(E') \exp {(-\beta E')}}\,dE'}\, dE.

Quando g(E) é chamado densidade de estado se o espectro de energia é contínuo.

Partículas clássicas com esta distribuição de energia são ditas obedientes à estatística de Maxwell–Boltzmann.

No limite clássico, i.e. em grandes volumes de E/kT ou às menores densidades de estados — quando funções de onda de partículas praticamente não se sobrepõe, tanto a distribuição Bose–Einstein ou a Fermi–Dirac tornam-se a distribuição de Boltzmann.

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