Conjunto canónico

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O conjunto canónico (português europeu) ou conjunto canônico (português brasileiro) ou ensemble canónico (português europeu) ou ensemble canônico (português brasileiro) em física estatística é um ensemble estatístico que modeliza um sistema físico em contato com um reservatório térmico de temperatura fixa, supondo que o volume e o número de partículas do sistema também são fixos. O ensemble canônico descreve tipicamente um sistema em contato com um reservatório térmico através de uma parede diatérmica, fixa e impermeável, mas sua aplicação transcende os limites da física.

Para um sistema em equilíbrio assumindo valores discretos de energia, com temperatura, número de partículas e volume fixos por reservatórios, a probabilidade p_i de encontrá-lo num micro-estado particular p_i é dada por:

p_i = \tfrac{1}{Z}e^{-\frac{E_i}{kT}},

sendo E_i a energia do microestado i e  Z a função de partição do sistema, definida por

 Z= \sum_i e^{-\frac{E_i}{kT}}=\sum_i e^{-\beta E_i}.

Fora da física, o formalismo canónico é amplamente utilizado, sendo aplicado, por exemplo, para prever teoricamente a distribuição da rendas da observação de Pareto de que as rendas altas se distribuem de acordo com uma lei potencial inversa. A evidência indica que as rendas altas de diversos lugares dos Estados Unidos se encontram em equilíbrio termodinâmico.

Apresentação física do problema[editar | editar código-fonte]

Imagine-se que se tem um sistema físico em contacto com um banho térmico. Isto quer dizer que está em contacto com uma grande massa a uma temperatura dada, e pelo princípio zero da termodinâmica tenderemos portanto o sistema em equilíbrio termodinâmico com o banho. Nestas condições, a energia não está totalmente determinada, senão que é uma variável aleatória que pode tomar uma série de valores. Desta forma, só podemos falar de probabilidade de que o sistema adopte uma energia determinada em função desta temperatura.

O fator de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Demonstra-se que a probabilidade de que um sistema a temperatura T esteja numa configuração de energia E é proporcional ao fator de Boltzmann:

P_E=\frac{e^{-E/k_BT}}{Z}

onde

P_E é a probabilidade buscada
E é a energia cuja probabilidade se está a procura
k_B é a constante de Boltzmann
T é a temperatura.

A constante Z não é mais que uma constante de normalização imposta para que a soma das probabilidades de todos os estados seja um. Define-se trivialmente como:

Z=\sum_\nu e^{-E_\nu/k_BT}

onde \nu é um índice mudo que recorre todos os estados possíveis do sistema com um número de partículas, volume e temperatura dadas.

A função de partição canónica[editar | editar código-fonte]

A constante de normalização Z recebe o nome de função de partição canónica ou simplesmente de função partição. Esta é uma função matemática da temperatura, em número de partículas e o volume. Pode-se demonstrar a fórmula seguinte, que relaciona a mecânica estatística com a termodinâmica no conjunto canónico:

F(T,V,N)=-k_BT\;\log{Z}

Esta equação nos dá a energia livre de Helmholtz do sistema (uma variável de estado termodinâmica) em função das suas variáveis naturais, o que supõe um conhecimento termodinâmico exaustivo do sistema. Portanto conhecer a função de partição é resolver o problema estatístico.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • L. D. Landau and E. M. Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition Part 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996.
  • Silvio R. A. Salinas, "Introdução à Física Estatística", Edusp, 2005.
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