Conjunto canónico

O conjunto canônico é uma forma de expor problemas em física estatística. Consiste em fixar num sistema macroscopicamente o número de partículas, o volume e a temperatura. É um ensemble estatístico que descreve a distribuição de probabilidades dos microestados de um sistema no qual o número de partículas, o volume e a temperatura são fixos. Para um sistema em equilíbrio assumindo valores discretos de energia, com temperatura, número de partículas e volume fixos por reservatórios, a probabilidade $p_i$ de encontrá-lo num micro-estado particular $p_i$ é dada por:

$p_i = \tfrac{1}{Z}e^{-\frac{E_i}{kT}} = e^{-\frac{E_i -A}{kT}}$

sendo $E_i$ a energia do microestado $i$ e $Z$ a função de partição do sistema.

Fora da física, o formalismo canônico é amplamente utilizado, sendo aplicado, por exemplo, para prever teoricamente a distribuição da rendas da observação de Pareto de que as rendas altas se distribuem de acordo com uma lei potencial inversa. A evidência indica que as rendas altas de diversos lugares dos Estados Unidos se encontram em equilíbrio termodinâmico.

Apresentação física do problema

Imagine-se que se tem um sistema físico em contato com um banho térmico. Isto quer dizer que está em contato com uma grande massa a uma temperatura dada, e pelo princípio zero da termodinâmica tenderemos portanto o sistema em equilíbrio termodinâmico com o banho. Nestas condições, a energia não está totalmente determinada, senão que é uma variável aleatória que pode tomar uma série de valores. Desta forma, só podemos falar de probabilidade de que o sistema adote uma energia determinada em função desta temperatura.

O fator de Boltzmann

Se demonstra que a probabilidade de que um sistema a temperatura T esteja numa configuração de energia E é proporcional ao fator de Boltzmann:

$P_E=\frac{e^{-E/k_BT}}{Z}$

onde: $P_E$ é a probabilidade buscada

$E$ é a energia cuja probabilidade se está a procura

$k_B$ é a constante de Boltzmann

$T$ é a temperatura.

A constante $Z$ não é mais que uma constante de normalização imposta para que a soma das probabilidades de todos os estados seja um. Define-se trivialmente como:

$Z=\sum_\nu e^{-E_\nu/k_BT}$

onde $\nu$ é um índice mudo que recorre todos os estados possíveis do sistema com um número de partículas, volume e temperatura dadas.

A função de partição canônica

A constante de normalização $Z$ recebe o nome de função de partição canônica ou simplesmente de função partição. Esta é uma função matemática da temperatura, em número de partículas e o volume. Pode-se demonstrar a fórmula seguinte, que relaciona a mecânica estatística com a termodinâmica no conjunto canônico:

$F(T,V,N)=k_BT\;\log{Z}$

Esta equação nos dá a energia livre de Helmholtz do sistema (uma variável de estado termodinâmica) em função das suas variáveis naturais, o que supõe um conhecimento termodinâmico exaustivo do sistema. Portanto conhecer a função de partição é resolver o problema estatístico.

Ver também

• Física estatística
• Conjunto microcanônico
• Ensemble Grande Canônico

Referências

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition Part 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996.
• Silvio R. A. Salinas, "Introdução à Física Estatística", Edusp, 2005.