Teorema do virial

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Este artigo não cita fontes fiáveis e independentes. (desde outubro de 2009). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Considere-se a seguinte quantidade física:


G = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}

onde \mathbf{r}_{k} e \mathbf{p}_{k} são o vetor posição e o vetor momento, respectivamente, da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial S de um conjunto de N partículas é definido de tal forma que


S = - \frac {1}{2} \left \langle \sum_{k=1}^{N}  \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle = - \frac {1}{2} \left\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle

onde o símbolo  \left\langle  \right\rangle representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.

O Teorema Virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante (  \langle \frac {dG}{dt}\rangle = 0 ):

 \langle T \rangle = S = - \frac {1}{2} \left\langle \sum_{k=1}^{N}  \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle [1] .

A expressão "virial" deriva do Latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius (1822-1888) em 1870.

Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Obtendo a expressão matemática para o virial[editar | editar código-fonte]

A derivada temporal de G pode ser escrita como


\frac{dG}{dt} = 
\sum_{k=1}^{N} \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt} \cdot \mathbf{r}_{k} + 
\sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}

= \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} + 
\sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}

ou, de modo mais simples,


\frac{dG}{dt} = 2 T + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}.

Aqui, m_{k} representa a massa da k-ésima partícula, \mathbf{F}_{k} = \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt} é a força líquida atuando sobre a partícula e T é a energia cinética total do sistema.


T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} v_{k}^{2} = 
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}.

A média desta derivada no intervalo de tempo \tau é definida como:


\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{dG}{dt}\,dt = 
\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} dG = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau},

Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:


\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 
2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} + \sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.

Da expressão acima segue-se que, se \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0, então


2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} = -\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0.

Uma razão frequentemente citada se aplica à sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial G^{\mathrm{bound}} está normalmente entre dois valores extremos, G_\min e G_\max, e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos \tau


\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \left\langle \frac{dG^{\mathrm{bound}}}{dt} \right\rangle_{\tau} \right| = 
\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \right| \le 
\lim_{\tau \rightarrow \infty} \frac{G_\max - G_\min}{\tau} = 0.

Mesmo se a média da derivada temporal \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,


\left\langle T \right\rangle_{\tau} = -\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.

que é a expressão matemática para o Teorema do Virial. [2]

Relação com a energia potencial[editar | editar código-fonte]

A força total \mathbf{F}_{k} atuando sobre a partícula k é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, j


\mathbf{F}_{k} = \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk}

onde, \mathbf{F}_{jk} é a força aplicada pela partícula j na partícula k. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como


\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k}.

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., \mathbf{F}_{jk} = 0, sempre que j=k), temos que


\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} + 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j>k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right).

onde assumimos que a terceira lei de Newton pde ser aplicada, i.e., \mathbf{F}_{jk} = -\mathbf{F}_{kj} (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial V que é uma função somente da distância, r_{jk}, entre as partículas j e k. Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso


\mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_{k}} V = 
- \frac{dV}{dr} \frac{\mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j}}{r_{jk}},

a qual é igual e oposta a \mathbf{F}_{kj} = -\nabla_{\mathbf{r}_{j}} V, a força aplicada pela partícula k sobre a partícula j, como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é


\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right) =
-\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{dV}{dr}  \frac{\left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right)^2}{r_{jk}} = 
-\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{dV}{dr}  r_{jk}.

Aplicação a forças que seguem uma lei da potência[editar | editar código-fonte]

É comum acontecer que a energia potencial V é uma função do tipo lei de potência


V(r_{jk}) = \alpha r_{jk}^{n},

onde o coeficiente \alpha e o expoente n são constantes. Em tais casos, temos:


-\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = 
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  \frac{dV}{dr}  r_{jk} =
\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  n V(r_{jk}) = n U

onde U é a energia potencial total do sistema


U = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k}  V(r_{jk}).

Em tais casos, quando \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0, a equação geral torna-se


\langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \rangle_{\tau} 
= \frac{n}{2} \langle U \rangle_{\tau}.

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual n=-1. Neste caso,


\langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \langle U \rangle_{\tau}.

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais n=-1, também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

Inclusão de campos eletromagnéticos[editar | editar código-fonte]

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico. [3]


\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}I
+ \int_Vx_k\frac{\partial G_k}{\partial t}d^3r 
= 2(T+U) + W^E + W^M - \int x_k(p_{ik}+T_{ik})dS_i,

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, WE e WM são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, pik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local


p_{ik}
= \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma
- V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma
,

e Tik é o tensor de stress eletromagnético,


T_{ik}
= \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right)
- \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right).

Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR2, e o lado esquerdo do teorema do virial é MR 22. Os termos no lado direito somam até cerca de pR3, onde p é o maior entre a pressão de plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

\tau\,\sim R/c_s,

onde cs é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsio acústico (ou de Alfven).

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Goldstein, Hebert - Classical Mechanics - Second Edition - Addison-Wesley Publishing Company - ISBN 0-201-02918-9
  2. Thornton,S. e Marion, J.,B. Classical Dynamics Of Particles and Systems (Fifth Edition), Thomson (2004), p.278
  3. George Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas (Second edition), Academic Press (1979), p.72

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]