Mecânica quântica

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A Mecânica Quântica é o estudo dos sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais como moléculas, átomos, elétrons, prótons e de outras partículas subatômicas. A Mecânica Quântica é um ramo fundamental da física com vasta aplicação. A teoria quântica generaliza a mecânica clássica e fornece descrições exatas para muitos fenômenos previamente inexplicados tais como a radiação de corpo negro e as órbitas estáveis do elétron. Os efeitos específicos da mecânica quântica não são tipicamente perceptíveis em escalas microscópicas. Porém, a explicação de fenômenos macroscópicos como a superfluidez e a supercondutividade só é possível se considerarmos que o comportamento microscópico da matéria é quântico.

A mecânica quântica recebe esse nome por prever um fenômeno bastante conhecido dos físicos: a quantização. No caso dos estados ligados (por exemplo, um elétron orbitando em torno de um núcleo positivo) a Mecânica Quântica prevê que a energia (do elétron) deve ser quantizada. Este fenômeno é completamente alheio ao que prevê a teoria clássica.

Índice

1 Um Panorama Geral
2 Primeiros Conceitos
3 Álgebra Linear
- 3.1 Vetores e Espaços Vetoriais
4 Aspectos Históricos
5 Princípios da Mecânica Quântica
6 Conclusões da Mecânica Quântica
7 Formalismos na mecânica quântica
8 Ver também

[editar] Um Panorama Geral

A palavra “quântica” (do Latim, quantum) quer dizer quantidade. Na mecânica quântica, esta palavra refere-se a uma unidade discreta que a teoria quântica atribui a certas quantidades físicas, como a energia de um elétron ligado a um átomo em repouso. A descoberta de que as ondas eletromagnéticas podem ser explicadas como uma emissão de pacotes de energia (chamados quanta) conduziu ao ramo da física que lida com sistemas atômicos e subatômicos. Este ramo da física é chamado hoje mecânica quântica.

A mecânica quântica é a base teórica e experimental de vários campos da Física e da Química, incluindo a física da matéria condensada, física do estado sólido, física atômica, física molecular, química computacional, química quântica, física de partículas, e física nuclear. Os alicerces da mecânica quântica foram estabelecidos durante a primeira metade do século XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max Planck, Louis de Broglie, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Richard Feynman e outros. Alguns aspectos fundamentais da contribuição desses autores ainda são alvo de investigação hoje em dia.

Normalmente é necessário utilizar a mecânica quântica para compreender o comportamento de sistemas em escala atômica. Por exemplo, se a mecânica clássica governasse o funcionamento de um átomo, o modelo planetário do átomo – proposto pela primeira vez por Rutherford – seria um modelo completamente instável. Segundo a teoria eletromagnética clássica, toda a carga elétrica acelerada emite radiação. Por outro lado, o processo de emissão de radiação consome a energia da partícula. Dessa forma, o elétron, enquanto caminha na sua órbita, perderia energia continuamente até colapsar contra o núcleo positivo! Com efeito, o modelo planetário do átomo é um modelo ineficaz. Para explicar o comportamento de um elétron em torno de um átomo de hidrogênio é necessário utilizar as leis da mecânica quântica.

[editar] Primeiros Conceitos

Há um pressuposto filosófico fundamental que tem guiado o desenvolvimento de toda a física ao longo dos séculos. Segundo ele, os fenômenos mais complexos da natureza podem ser bem compreendidos se forem conhecidas suas partes constituintes e as formas como essas partes se relacionam. Por exemplo, se conhecermos as partículas que constituem a matéria e a forma como elas interagem, a previsão dos estados futuros do mundo - dadas as devidas condições iniciais e de contorno - ficaria reduzido a um problema matemático.

Questionável ou não, esse pressuposto filosófico - na maioria das vezes implícito na prática científica do físico - está na base de um dos conceitos mais primitivos da ciência: o de sistema. Por princípio, a física parte de situações mais simples e caminha em direção ás situações mais complexas. Ela não se ocupa de estudar a natureza toda de uma só vez. Pelo contrário, para fazer física é necessário recortar a natureza em partes menores sobre as quais concentraremos nossa atenção. Esses fragmentos da realidade concreta separados para a análise são os chamados sistemas.

Dependendo do caso, a palavra sistema refere-se a um elétron ou um próton, um pequeno átomo de hidrogênio ou um grande átomo de urânio, uma molécula isolada ou um conjunto de moléculas interagentes formando um sólido ou um vapor. Em todos os casos, sistema é um fragmento da realidade concreta para o qual deseja-se chamar atenção.

De fato, é necessário separar a natureza em sistemas menores e mais simples para poder compreendê-la. Além disso, é preciso reconhecer que a natureza está em constante movimento. Assim, os sistemas físicos não são idênticos a si mesmos em todos os instantes. Ao contrário, eles evoluem. Essa idéia conduz a outro conceito-chave, que, especialmente na quântica, tem uma grande importância: o conceito de estado.

Cada sistema ocupa um estado em um instante no tempo e as leis da física devem ser capazes de descrever como um dado sistema parte de um estado e chega a outro. Em outras palavras, as leis da física devem dizer como o sistema evolui (de estado em estado).

No estudo da mecânica quântica, é usual ressaltar que todas as informações possíveis de se conhecer em um dado sistema constituem seu estado. Essa definição pode parecer simples e evidente, mas sua simplicidade é ilusória. Muitas vezes não é possível saber exatamente algumas informações óbvias sobre as partículas - como sua posição, por exemplo.

Muitas variáveis que ficam bem determinadas na mecânica clássica são substituidas por distribuições de probabilidades na mecânica quântica, gerando algum desconforto inicial no estudante que já está acostumado a pensar classicamente. Se observar bem, a definição de estado conforme informada acima contorna a crise. Se, por algum acaso, não é possível saber alguma informação sobre o sistema, então essa informação não constitui seu estado. Na prática, não nos preocupamos muito com ela, seguimos calculando.

No formalismo da mecânica quântica, o estado de um sistema em um dado tempo pode ser descrito de duas formas principais: (1) por uma função de complexa das posições ou dos momenta de cada partícula que compõe o sistema (essa é a chamada função de onda); (2) por um vetor em um espaço vetorial complexo.

A rigor, a função de onda também é um vetor - só que no espaço das funções. Por isso é útil introduzir outro nome para o vetor referido no parágrafo anterior. Devido à notação introduzida por Paul Dirac, tais vetores são usualmente chamados kets (sing.: ket).

Em suma, tanto as funções de onda quanto os kets representam os estados de um dado sistema físico de forma completa e equivalente e as leis da mecânica quântica descrevem como kets e funções de onda evoluem no tempo.

Estes objetos matemáticos abstratos (kets e funções de onda) permitem o cálculo da probabilidade de se obter resultados específicos em um experimento concreto. Por exemplo, o formalismo da mecânica quântica permite que se calcule a probabilidade de encontrar um elétron em uma região particular em torno do núcleo.

[editar] Álgebra Linear

Artigo Principal: Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica

É impossível falar seriamente sobre mecãnica quântica sem fazer alguns apontamentos matemáticos. Isso porque muitos fenômenos quânticos difíceis de se imaginar concretamente podem ser representados sem mais complicações com um pouco de abstração matemática.

Há três conceitos fundamentais da matemática - mais especificamente da álgebra linear - que são empregados constantemente pela mecânica quântica. São estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e (3) de autovalor.

[editar] Vetores e Espaços Vetoriais

Artigo Principal: Espaço Vetorial

Na álgebra linear, um espaço vetorial (ou o espaço linear) é uma coleção dos objetos abstratos (chamados vetores). Tais objetos, informalmente falando, podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por um número esclar. Mais formalmente, um espaço vetorial é um conjunto em que duas operações, chamadas adição (vetorial) e multiplicação (por scalar), são definidas e satisfaz determinados axiomas naturais que estão listados no verbete específico. Os espaços vetoriais são os objetos básicos do estudo na álgebra linear, e têm várias aplicações na matemática, na ciência, e na engenharia.

O espaço vetorial mais simples e familiar é o espaço Euclidiano bidimensinal. Os vetores neste espaço são pares ordenados e são representados graficamente como "setas" dotadas de módulo (relativo ao tamanho do vetor) direção (relativa à reta que o vetor ocupa) e sentido (relativo ao sentido para onde o vetor aponta em uma dada reta). Quaisquer dois vetores em um espaço podem ser adicionados gerando outro vetor no mesmo espaço. No caso do espaço euclidiano bidimensional, a soma de dois vetores quaisquer pode ser realizada utilizando a regra do paralelogramo. Todos os vetores também podem ser multiplicados por um escalar - que no espaço Euclidiano é sempre um número real. Esta multiplicação por escalar poderá alterar o módulo do vetor e seu sentido, mas preservará sua direção. O comportamento de vetores geométricos sob estas operações fornece um bom modelo intuitivo para o comportamento dos vetores em uns espaços de vetor mais abstratos, que não precisem de ter uma interpretação geométrica. Por exemplo: o espaço de Hilbert onde "habitam" os vetores da mecânica quântica.

[editar] Aspectos Históricos

Artigo Principal: History of quantum mechanics

A história da mecânica quântica começou essencialmente com a descoberta 1838 dos raios catódicos por Michael Faraday, a enunciação em 1859 do problema da radiação de corpo negro por Gustavo Kirchhoff, a sugestão 1877 por Ludwig Boltzmann que os estados de energia de um sistema físico poderiam ser discretos, e a hipótese por Planck em 1900 de que toda a energia é irradiada e absorvida na forma de elementos discretos chamados quanta. Segundo Planck, cada um desses quanta tem energia proporcional à frequência ν da radiação eletromagnética emitida ou absorvida.

$E = h \nu = \hbar \omega\,$

[editar] Princípios da Mecânica Quântica

Primeiro Princípio: Princípio da superposição

Na mecânica quântica, o estado de um sistema físico é definido pelo conjunto de todas as informações que podem ser extraídas desse sistema ao se efetuar alguma medida.

Na mecânica quântica, todos os estados são representados por vetores em um espaço vetorial complexo: o Espaço de Hilbert H. Assim, cada vetor no espaço H representa um estado que poderia ser ocupado pelo sistema. Portanto, dados dois estados quaisquer, a soma algébrica (superposição) deles também é um estado.

Como a norma (matemática) dos vetores de estado não possui significado físico, todos os vetores de estado são preferencialmente normalizados. Na notação de Dirac, os vetores de estado são chamados "Kets" e são representados como aparece a seguir:

$\mid\psi\rangle$

Usualmente, na matemática, são chamados funcionais todas as funções lineares que associam vetores de um espaço vetorial qualquer a um escalar. É sabido que os funcionais dos vetores de um espaço também formam um espaço, que é chamado espaço dual. Na notação de Dirac, os funcionais - elementos do Espaço Dual - são chamados "Bras" e são representados como aparece a seguir:

$\langle\psi\mid$

Segundo Princípio: medida de grandezas físicas

a) Para toda grandeza física A é associado um operador linear auto-adjunto Â pertencente a A: Â é o observável (autovalor do operador) representando a grandeza A.

b) Seja $|\psi(t) \rangle$ o estado no qual o sistema se encontra no momento onde efetuamos a medida de A. Qualquer que seja $|\psi(t) \rangle$ , os únicos resultados possíveis são os autovalores de

a α

do observável Â.

c) Sendo $\hat{A}_{\alpha}$ o projetor sobre o subespaço associado ao valor próprio

a α

, a probablidade de encontrar o valor

a α

em uma medida de A é:

$\mathcal{P}(a_{\alpha})=\|\psi_{\alpha}\|^2$ onde $|\psi_{\alpha}\rangle =\hat{A}_{\alpha}$

d) Imediatamente após uma medida de A, que resultou no valor

a α

, o novo estado $|\psi' \rangle$ do sistema é

$|\psi' \rangle={|\psi_{\alpha} \rangle}/{\|\psi_{\alpha}\|^2}$

Terceiro Princípio: Evolução do sistema

Seja $|\psi(t) \rangle$ o estado de um sistema ao instante t. Se o sistema não é submetido a nenhuma observação, sua evolução, ao longo do tempo, é regida pela equação de Schrödinger:

$i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t) \rangle =\hat{H}|\psi(t) \rangle$

onde $\hat{H}$ é o hamiltoniano do sistema.

[editar] Conclusões da Mecânica Quântica

As conclusões mais importantes desta teoria são:

Em estados ligados, como o elétron girando ao redor do núcleo de um átomo, a energia não se troca de modo contínuo, mas sim de modo discreto (descontínuo), em transições cujas energias podem ou não ser iguais umas às outras. A idéia de que estados ligados têm níveis de energias discretas é devida a Max Planck.

O de ser impossível atribuir ao mesmo tempo uma posição e um momentum exatas a uma partícula, renunciando-se assim ao conceito de trajetória, vital em Mecânica Clássica. Em vez de trajetória, o movimento de partículas em Mecânica Quântica é descrito por meio de uma função de onda, que é uma função da posição da partícula e do tempo. A função de onda é interpretada por Max Born como uma medida da probabilidade de se encontrar a partícula em determinada posição e em determinado tempo. Esta interpretação é a mais aceita pelos físicos hoje, no conjunto de atribuições da Mecânica Quântica regulamentados pela Escola de Copenhagen. Para descrever a dinâmica de um sistema quântico deve-se, portanto, achar sua função de onda, e para este efeito usam-se as equações de movimento, propostas por Werner Heisenberg e Erwin Schrödinger independentemente.

Apesar de ter sua estrutura formal basicamente pronta desde a década de 1930, a interpretação da Mecânica Quântica foi objeto de estudos por várias décadas. O principal é o problema da medida em Mecânica Quântica e sua relação com a não-localidade e causalidade. Já em 1935, Einstein, Podolski e Rosen publicaram seu Gedankenexperiment, mostrando uma aparente contradição entre localidade e o processo de Medida em Mecânica Quântica. Nos anos 60 J. S. Bell publicou uma série de relações que seriam respeitadas caso a localidade — ou pelo menos como a entendemos classicamente — ainda persistisse em sistemas quânticos. Tais condições são chamadas desigualdades de Bell e foram testadas experimentalmente por A. Aspect, P. Grangier, J. Dalibard em favor da Mecânica Quântica. Como seria de se esperar, tal interpretação ainda causa desconforto entre vários físicos, mas a grande parte da comunidade aceita que estados correlacionados podem violar causalidade desta forma.

Tal revisão radical do nosso conceito de realidade foi fundamentada em explicações teóricas brilhantes para resultados experimentais que não podiam ser descritos pela teoria clássica, e que incluem:

Espectro de Radiação do Corpo negro, resolvido por Max Planck com a proposição da quantização da energia.
Explicação do experimento da dupla fenda, no qual eléctrons produzem um padrão de interferência condizente com o comportamento ondular.
Explicação por Albert Einstein do efeito fotoelétrico descoberto por Heinrich Rudolf Hertz, onde propõe que a luz também se propaga em quanta (pacotes de energia definida), os chamados fótons.
O Efeito Compton, no qual se propõe que os fótons podem se comportar como partículas, quando sua energia for grande o bastante.
A questão do calor específico de sólidos sob baixas temperaturas, cuja discrepância foi explicada pelas teorias de Einstein e de Debye, baseadas na equipartição de energia segundo a interpretação quantizada de Planck.
A absorção ressonante e discreta de energia por gases, provada no experimento de Franck-Hertz quando submetidos a certos valores de diferença de potencial elétrico.
A explicação da estabilidade atômica e da natureza discreta das raias espectrais, graças ao modelo do átomo de Bohr, que postulava a quantização dos níveis de energia do átomo.

O desenvolvimento formal da teoria foi obra de esforços conjuntos de muitos físicos e matemáticos da época como Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Einstein, P.A.M. Dirac, Niels Bohr e John von Neumann, entre outros (de uma longa lista).

[editar] Formalismos na mecânica quântica

Mais tarde, foi introduzido o formalismo hamiltoniano, baseado matematicamente no uso do lagrangiano, mas cuja elaboração matemática é muitas vezes mais fácil.