Efeito Compton

Em Física, Efeito Compton ou o Espalhamento de Compton, é a diminuição de energia (aumento de comprimento de onda) de um fóton de raio-X ou de raio gama, quando ele interage com a matéria. Espalhamento Inverso de Compton também existe, onde o fóton ganha energia (diminuindo o comprimento de onda) pela interação com a matéria. O comprimento de onda aumentado ou diminuído no total é denominado variação de Compton. Entretanto, o espalhamento nuclear de Compton existe, que é a interação envolvendo apenas elétrons de um átomo. O Efeito Compton foi observado por Arthur Holly Compton em 1923, pelo qual fez ele receber o Prêmio Nobel de Física em 1927.

O efeito é importante porque ele demonstra que a luz não pode ser explicada meramente como um fenômeno ondulatório. O espalhamento de Thomson, a clássica teoria de partículas carregadas espalhadas por uma onda eletromagnética, não pode explicar alguma variação no comprimento de onda. A luz deve agir como se ela consistisse de partículas como condição para explicar o espalhamento de Compton. O experimento de Compton convenceu os físicos de que a luz pode agir como uma corrente de partículas cuja energia é proporcional à frequência.

A interação entre a alta energia dos fótons e elétrons resulta no elétron recebendo parte da energia (fazendo-o recuar), e um fóton contendo a energia restante sendo emitida numa direção diferente da original, sempre conservando o momentum total do sistema. Se o fóton ainda possui bastante energia, o processo pode ser repetido.

O espalhamento de Compton ocorre em todos os materiais e predominantemente com fótons de média-energia (entre 0.5 e 3.5 MeV). Ele é também observado com fótons de alta-energia; fótons de luz visível ou de frequências mais altas, por exemplo, possuem energia suficiente para expelir os elétrons saltados do átomo (efeito Fotoelétrico).

Fórmula da Variação de Compton

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz.

• Luz como uma partícula;
• Dinâmica Relativística;
• Trigonometria.

O resultado final nos dá a Equação do Espalhamento de Compton:

$\lambda_2 = \frac{h}{m_e c}(1-\cos{\theta}) + \lambda_1$

onde

$\lambda_1$ é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

$\lambda_2$ é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

h/(m_ec) é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é 2.43×10^-12 m.

Dedução

Nós usamos que:

$E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,$

(Conservação de energia, onde $E_{\gamma}$ é a energia do fóton antes da colisão e $E_e$ é a energia do elétron antes da colisão - sua massa de repouso). As variáveis com apóstrofe são usadas por estas depois da colisão.

E:

$\vec p_{\gamma} + \vec{p_{e}} = \vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{e'}}\,$

(Conservação de momentum, com o $p_e=0$ porque nós assumimos que o elétron está em repouso.)

Nós então usamos $E = hf = pc$:

$\vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}}\,$

${\vec{p_{e'}}}^2 = {(\vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}})}^2$

${\vec{p_{e'}}}^2 = \vec{p_{\gamma}}^2 - 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{\gamma'}}^2$

$\vec{p_{e'}} \cdot \vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} \cdot \vec{p_{\gamma}}- 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{\gamma'}} \cdot \vec{p_{\gamma'}}$

${p_{e'}}^2 \cdot \cos(0) = p_{\gamma}^2 \cdot \cos(0) - 2 \cdot p_{\gamma} \cdot p_{\gamma'} \cdot \cos(\theta) + p_{\gamma'}^2\cdot \cos(0)$

O termo $\cos(\theta)$ aparece porque o momentum está em vetores espaciais, todos do qual ficam em um plano singular 2D, portanto o seu produto escalar é o produto de suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Substituindo $p_{\gamma}$ por $\frac{hf}{c}$ e $p_{\gamma'}$ por $\frac{hf'}{c}$, nós obtemos

$p_{e'}^2 = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}$

Agora nós completamos a parte da energia:

$E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,$

$hf + mc^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2}\,$

Nós resolvemos esta por p_e':

$(hf + mc^2-hf')^2 = (p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2\,$

$\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2}= p_{e'}^2\,$

Então nós temos duas equações por $p_{e'}^2$, da qual nós igualamos:

$\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2} = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}$

Agora é apenas uma questão de reescrever:

$h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'\cos{\theta}\,$

$-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = -2h^2ff'\cos{\theta}\,$

$hff'-(f-f')mc^2 = hff'\cos{\theta}\,$

$hff'(1-\cos{\theta}) = (f-f')mc^2\,$

$h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) =\left(\frac{c}{\lambda}-\frac{c}{\lambda'}\right)mc^2$

$h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) = \left(\frac{c\lambda'}{\lambda\lambda'}-\frac{c\lambda}{\lambda'\lambda}\right)mc^2$

$h(1-\cos{\theta}) = \frac{\lambda'}{c}\frac{\lambda}{c}\left(\frac{c\lambda'}{\lambda'\lambda}-\frac{c\lambda}{\lambda\lambda'}\right)mc^2$

$h(1-\cos{\theta}) = \left(\frac{\lambda'}{c}-\frac{\lambda}{c}\right)mc^2$

$\frac{h}{mc}(1-\cos{\theta}) =\lambda'-\lambda$

Dedução Alternativa

Consideremos a situação ilustrada na Fígura abaixo, onde um feixe de fótons incide em um elétron e^- inicialmente em repouso, após a colisão, elétron e fóton são espalhados sob ângulos $\theta$ e $\phi$ respectivamente.

A conservação do momento linear na direção vertical nos diz

$\begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Antes \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Depois \end{matrix} \Rightarrow 0 = - p_{e}\sin{ \phi} + p_{f}\sin{\theta}$

Assim

$\sin{\phi }= {p_{f} \over p_{e}}\sin{\theta}$

A conservação do momento linear na direção horizontal nos diz:

$\begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Antes \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ p_e + p_f } \\ Depois \end{matrix} \Rightarrow p_{0f} + 0 = p_{f}\cos{\theta} + p_{e}\cos{\phi }$

A partir da equação conservação do momento na direção vertical, sabemos que

$\cos{\phi}=\sqrt[2]{1-\sin^2{\phi}}= \sqrt[2]{ {p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta} \over {p_{e}}^2 }$.

Assim

$p_{0f} = p_{f}\cos{\theta} + p_{e}\sqrt[2]{ {p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta} \over {p_{e}}^2 } \Rightarrow p_{0f}=p_{f}\cos{\theta}+\sqrt[2]{{p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta}}$

Sabemos que $p_{0f}= {E_0 \over c}$ e $p_{f}= {E \over c}$ onde c é a velocidade da luz no vácuo e $E_0$ e $E$ são as energias do fóton antes e após a colisão, respectivamente.

Assim

${E_0 \over c} = {E \over c} \cos{\theta}+{ \sqrt[2]{ {p_{e}}^2{c}^2- {E^2}\sin^2{\theta}} \over c} \Rightarrow {p_{e}}^2{c}^2 = {E^2}+{E_0}^2 - 2E{E}_0\cos{\theta}$

Usaremos agora a conservação da energia

$\begin{matrix} \underbrace{ E_e + E_0 } \\ Antes \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ E_e + E_f } \\ Depois \end{matrix} \Rightarrow {m_e}c^2 + E_o = E + \sqrt[2]{ {m_e}^2c^4 + {p_e}^2c^2 },$

Substituindo o último resultado pbtido a partir da conservação do momento linear, obtemos:

${m_e}c^2 + E_o = E + \sqrt[2]{ {m_e}^2c^4 + {E^2}+{E_0}^2 - 2E{E}_0\cos{\theta} } \Rightarrow -2E{E}_0 + 2{m_e}c^2(E_o - E) = - 2E{E}_0\cos{\theta},$

Resolvendo essa equação para E temos

$E = {1 \over {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{1 \over E_o }} \Rightarrow {1 \over E }= {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{1 \over E_o } ,$

Sabemos que

$E = h\nu = {hc \over \lambda }$

Então chegamos assim ao resultado desejado

${\lambda \over hc } = {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{\lambda_0 \over hc } \Rightarrow \lambda - \lambda_0 = {h \over {m_e}c }(1-\cos{\theta})$

Onde a quantidade ${h \over {m_e}c}$ é chamada de comprimento de onda Compton do elétron.

Referências Bibliográficas

• GRIFFTHS,D. J. Introduction to Electrodynamics,3ª edição,Cap.12,1999.

Ver também

Fotoemissão em cristais

Efeito Fotoelétrico