Efeito Compton

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Em física, efeito Compton ou o espalhamento Compton é a diminuição de energia (aumento de comprimento de onda) de um fóton, tipicamente na faixa de raio-X ou de raio gama, devido à interação com a matéria; de particular importância devido à interação com elétrons livres. Como a relação de dispersão para partícula livre exibe dependência com o quadrado de seu momento [ E = P²/(2m) ] ao passo que a relação de dispersão para fótons é linear em relação ao momento [ E=P/C ], a conservação simultânea do momento e da energia é praticamente inviável na interação com partícula livre, onde as referidas leis de conservação implicam a emissão de um segundo fóton a fim de serem satisfeitas.

Em materiais cristalinos um fônon pode tomar parte no processo ao invés de um fóton. Considerando-se o momento cristalino da partícula, a absorção completa do fóton torna-se viável, sendo importante em espectroscopia de fotoelétrons.

Há também o Espalhamento Compton Inverso, processo onde o fóton ganha energia (diminuindo o comprimento de onda) pela interação com a matéria. A variação total no comprimento de onda, positivo ou negativo, é denominado variação Compton.

O Efeito Compton foi observado por Arthur Holly Compton em 1923, pelo qual fez ele receber o Prêmio Nobel de Física em 1927.

O efeito é importante porque mostra que a luz não pode ser explicada meramente como um fenômeno ondulatório. O espalhamento Thomson, a clássica teoria de partículas carregadas espalhadas por uma onda eletromagnética, não pode explicar alguma variação no comprimento de onda. A luz deve agir como se ela consistisse de partículas como condição para explicar o espalhamento de Compton. O experimento de Compton convenceu os físicos de que a luz pode agir como uma corrente de partículas cuja energia é proporcional à frequência.

A interação entre a alta energia dos fótons e elétrons resulta no elétron recebendo parte da energia (fazendo-o recuar), e um fóton contendo a energia restante sendo emitida numa direção diferente da original, sempre conservando o momento e a energia totais do sistema. Se o fóton ainda possui bastante energia, o processo pode ser repetido.

O espalhamento de Compton ocorre em todos os materiais e predominantemente com fótons de média-energia (entre 0.5 e 3.5 MeV). Ele é também observado com fótons de baixa energia; fótons de luz visível ou de frequências mais altas, por exemplo, junto ao (efeito Fotoelétrico).

Fórmula da variação de Compton[editar | editar código-fonte]

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz.

  • Luz como uma partícula;
  • Dinâmica Relativística;
  • Trigonometria.

O resultado final nos dá a Equação do Espalhamento de Compton:

 \lambda_2 = \frac{h}{m_e c}(1-\cos{\theta}) + \lambda_1

onde

\lambda_1 é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,
\lambda_2 é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,
me é a massa do elétron,
h/(mec) é conhecido como o comprimento de onda de Compton,
θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,
h é a constante de Planck, e
c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é 2.43×10-12 m.

Dedução[editar | editar código-fonte]

Nós usamos que:

E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,

(Conservação de energia, onde E_{\gamma} é a energia do fóton antes da colisão e E_e é a energia do elétron antes da colisão - sua massa de repouso). As variáveis com apóstrofe são usadas por estas depois da colisão.

E:

\vec p_{\gamma} + \vec{p_{e}} = \vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{e'}}\,

(Conservação de momentum, com o p_e=0 porque nós assumimos que o elétron está em repouso.)

Nós então usamos E = hf = pc:

\vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}}\,
{\vec{p_{e'}}}^2 = {(\vec{p_{\gamma}} - \vec{p_{\gamma'}})}^2
{\vec{p_{e'}}}^2 = \vec{p_{\gamma}}^2 - 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + \vec{p_{\gamma'}}^2
\vec{p_{e'}} \cdot \vec{p_{e'}} = \vec{p_{\gamma}} \cdot \vec{p_{\gamma}}- 2\cdot\vec{p_{\gamma}}\cdot\vec{p_{\gamma'}} + 

\vec{p_{\gamma'}} \cdot \vec{p_{\gamma'}}
{p_{e'}}^2 \cdot \cos(0) = p_{\gamma}^2 \cdot \cos(0) - 2 \cdot p_{\gamma} \cdot p_{\gamma'} \cdot \cos(\theta) + p_{\gamma'}^2\cdot 

\cos(0)

O termo \cos(\theta) aparece porque o momentum está em vetores espaciais, todos do qual ficam em um plano singular 2D, portanto o seu produto escalar é o produto de suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Substituindo p_{\gamma} por \frac{hf}{c} e p_{\gamma'} por \frac{hf'}{c}, nós obtemos

p_{e'}^2 = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}

Agora nós completamos a parte da energia:

E_{\gamma} + E_{e} = E_{\gamma'} + E_{e'}\,
hf + mc^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2}\,

Nós resolvemos esta por pe':

(hf + mc^2-hf')^2 = (p_{e'}c)^2 + (mc^2)^2\,
\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2}= p_{e'}^2\,

Então nós temos duas equações por p_{e'}^2, da qual nós igualamos:

\frac{(hf + mc^2-hf')^2 -m^2c^4}{c^2} = \frac{h^2 f^2}{c^2} + \frac{h^2 f'^2}{c^2} - \frac{2h^2 ff'\cos{\theta}}{c^2}

Agora é apenas uma questão de reescrever:

h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = h^2f^2+h^2f'^2-2h^2ff'\cos{\theta}\,
-2h^2ff'+2h(f-f')mc^2 = -2h^2ff'\cos{\theta}\,
hff'-(f-f')mc^2 = hff'\cos{\theta}\,
hff'(1-\cos{\theta}) = (f-f')mc^2\,
h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) =\left(\frac{c}{\lambda}-\frac{c}{\lambda'}\right)mc^2
h\frac{c}{\lambda'}\frac{c}{\lambda}(1-\cos{\theta}) = 

\left(\frac{c\lambda'}{\lambda\lambda'}-\frac{c\lambda}{\lambda'\lambda}\right)mc^2
	h(1-\cos{\theta}) = 

\frac{\lambda'}{c}\frac{\lambda}{c}\left(\frac{c\lambda'}{\lambda'\lambda}-\frac{c\lambda}{\lambda\lambda'}\right)mc^2
h(1-\cos{\theta}) = \left(\frac{\lambda'}{c}-\frac{\lambda}{c}\right)mc^2
\frac{h}{mc}(1-\cos{\theta}) =\lambda'-\lambda


Dedução Alternativa[editar | editar código-fonte]

Consideremos a situação ilustrada na Fígura abaixo, onde um feixe de fótons incide em um elétron e- inicialmente em repouso, após a colisão, fóton e elétron são espalhados sob ângulos \theta e \phi respectivamente.

Compton.JPG

A conservação do momento linear na direção vertical nos diz

\underbrace{ p_e + p_f }_{\text{Antes}} = \underbrace{ p_e + p_f }_{\text{Depois}} 
\quad \Rightarrow \quad  0 =  - p_{e}\sin{ \phi} + p_{f}\sin{\theta}

Assim

\sin{\phi }= {p_{f} \over  p_{e}}\sin{\theta}

A conservação do momento linear na direção horizontal nos diz:

\underbrace{ p_e + p_f }_{\text{Antes}} = \underbrace{ p_e + p_f }_{\text{Depois}}
\quad \Rightarrow \quad p_{0f} + 0 =  p_{f}\cos{\theta} + p_{e}\cos{\phi }

A partir da equação conservação do momento na direção vertical, sabemos que

\cos{\phi}=\sqrt[2]{1-\sin^2{\phi}}= \sqrt[2]{ {p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta} \over {p_{e}}^2 }.

Assim

  p_{0f} =  p_{f}\cos{\theta} + p_{e}\sqrt[2]{ {p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta} \over {p_{e}}^2 }  \Rightarrow p_{0f}=p_{f}\cos{\theta}+\sqrt[2]{{p_{e}}^2-{p_{f}}^2\sin^2{\theta}}

Sabemos que p_{0f} = \frac{E_0}{c} e p_{f} = \frac{E}{c} onde c é a velocidade da luz no vácuo e E_0 e E são as energias do fóton antes e após a colisão, respectivamente.

Assim

 \frac{E_0}{c} = \frac{E}{c} \cos{\theta}+{ \sqrt[2]{ {p_{e}}^2{c}^2- {E^2}\sin^2{\theta}} \over c}  \Rightarrow 
{p_{e}}^2{c}^2 = {E^2} + {E_0}^2 - 2E{E}_0\cos{\theta}

Usaremos agora a conservação da energia

 \underbrace{ E_e + E_0 }_{\text{Antes}} = \underbrace{ E_e + E_f }_{\text{Depois}}
\quad \Rightarrow \quad {m_e}c^2 + E_o = E + \sqrt[2]{ {m_e}^2c^4 + {p_e}^2c^2 },

Substituindo o último resultado obtido a partir da conservação do momento linear, obtemos:

 {m_e}c^2 + E_o = E + \sqrt[2]{ {m_e}^2c^4 + {E^2}+{E_0}^2 - 2E{E}_0\cos{\theta}
 } \Rightarrow -2E{E}_0 + 2{m_e}c^2(E_o - E) = - 2E{E}_0\cos{\theta},

Resolvendo essa equação para E temos

 E = {1 \over {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2  } +{1 \over E_o }} \Rightarrow {1 \over E }= {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{1 \over E_o } ,

Sabemos que

 E = h\nu = {hc \over \lambda  }

Então chegamos assim ao resultado desejado

    {\lambda  \over hc } = {(1-\cos{\theta}) \over {m_e}c^2 } +{\lambda_0 \over hc   } \Rightarrow  \lambda - \lambda_0  = {h \over {m_e}c }(1-\cos{\theta})

Onde a quantidade {h \over {m_e}c} é chamada de comprimento de onda Compton do elétron.

Referências Bibliográficas[editar | editar código-fonte]

  • GRIFFTHS,D. J. Introduction to Electrodynamics,3ª edição,Cap.12,1999.

Ver também[editar | editar código-fonte]