Equação de Klein–Gordon

A equação de Klein–Gordon é a versão relativista da equação de Schrödinger. Algumas vezes chamada de Klein–Fock–Gordon ou Klein–Gordon–Fock.

É a equação de movimento de um campo escalar ou pseudo-escalar quântico. Este campo descreve partículas sem spin. Esta equação não corresponde a uma densidade de probabilidade definida positiva e além disso é de segunda ordem na derivada temporal, o que impede uma interpretação física simples. Ela descreve uma partícula pontual que se propaga nos dois sentidos temporais e a sua interpretação é possível recorrendo à teoria de antipartículas desenvolvida por Feynman e Stueckelberg. Todas soluções da equação de Dirac são soluções da equação de Klein-Gordon, mas o inverso é falso.

A equação

A equação de Klein–Gordon em unidades SI tem a forma

$\frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0.$

mas utiliza-se mais frequentemente a descrição em unidades naturais:

$- \partial_t^2 \psi + \nabla^2 \psi = m^2 \psi$

A sua forma é obtida exigindo que as soluções de ondas planas:

$\psi = e^{-i\omega t + i k\cdot x } = e^{i k_\mu x^\mu}$

obedeçam à relação entre a energia e o momento linear da relatividade restrita:

$-p_\mu p^\mu = E^2 - P^2 = \omega^2 - k^2 = - k_\mu k^\mu = m^2\,$

Ao contrário da equação de Schrödinger, esta equação tem dois valores para $\omega$ para cada $k$, um positivo e outro negativo. Esta equação descreve uma função de onda relativista apenas se as partes com frequência positiva e negativa forem separadas.

História

A equação foi nomeada em honra dos físicos Oskar Klein e Walter Gordon, que a proposeram no ano de 1927 para descrever electrões relativistas. No entanto, foi mais tarde descoberto que os electrões são partículas com spin e corretamente descritos pela equação de Dirac. A equação de Klein Gordon descreve correctamente partículas escalares como o pião.