Representação de Schrödinger

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{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
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Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

O operador de evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

O operador de evolução temporal U(t,t0) é definido como:

 | \psi(t) \rangle = U(t,t_0) | \psi(t_0) \rangle

Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t0 no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:

 \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0)

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade[editar | editar código-fonte]

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,

 \langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle  = \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle

Em consequência disto,

 U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)=I(U(t,t_0)).

Segunda propriedade[editar | editar código-fonte]

Distintamente U(t0,t0) = I, a função identidade. Como:

 | \psi(t_0) \rangle = U(t_0,t_0) | \psi(t_0) \rangle

Terceira propriedade[editar | editar código-fonte]

A evolução temporal de t0 para t pode ser vista como a evolução temporal de t0 para um tempo t1 indeterminado e de t1 para o tempo final t. Então conclui-se:

U(t,t_0) = U(t,t_1)U(t_1,t_0)\!

Equação diferencial para o operador da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Se dermos, por convenção, o índice t0 no operador da evolução temporal de forma que t0 = 0 e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

 i \hbar {d \over dt} U(t) | \psi_e (0) \rangle = H U(t)| \psi_e (0)\rangle

Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como |\psi(0)\rangle é uma constante de ket (o estado ket é da forma t = 0), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:

 i \hbar {d \over dt} U(t) = H U(t)

Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:

 U(t) = e^{-iHt / \hbar}.

Onde nós também usamos o facto que t = 0, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:

| \psi(t) \rangle = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rangle \, .

Perceba que |\psi(0)\rangle é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:

| \psi(t) \rangle = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rangle \, .

Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:

 U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t^')\, dt^'}\right) \, .

Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press. (em inglês)