Equação de Hamilton–Jacobi

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Na matemática, a equação de Hamilton–Jacobi (HJE em inglês) é uma condição necessária para descrever a geometria em problemas de cálculos. Na física, ela é uma reformulação da mecânica clássica e é equivalente à outras reformulações como a segunda lei de Newton, mecânica de Lagrange e mecânica hamiltoniana. Ela foi formulada pelos matemáticos William Rowan Hamilton e Carl Gustav Jakob Jacobi.

A equação de Hamilton–Jacobi é particularmente importante por ser a única formulação matemática da mecânica em que o movimento de uma partícula pode ser representada como uma onda. Neste sentido, a equação preencheu um antigo objetivo da física teórica (iniciada no século XVIII por Johann Bernoulli) que era o de encontrar uma analogia entre a propagação da luz e o movimento de uma partícula. A equação de onda seguida por sistemas mecânicos é similar a, mas não idêntico a, equação de Schrödinger, por esta razão, a equação de Hamilton–Jacobi é considera a maior aproximação da mecânica clássica com a mecânica quântica.[1] [2]

Definição[editar | editar código-fonte]

A equação de Hamilton–Jacobi é uma equação de derivadas parciais, não linear de primeira ordem para a função S(q_{1},\dots,q_{N}; t) chamada de função principal de Hamilton.


H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

Esta equação pode ser obtida a partir da mecânica hamiltoniana tratando-se S como a função geradora para uma transformação canônica da mecânica Hamiltoniana H(q_{1},\dots,q_{N};p_{1},\dots,p_{N};t). O momento conjugado corresponde à primeira derivada de S com respeito as coordenadas generalizadas

p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}.

que pode ser obtido como se segue.

A mudança na ação de um caminho para um caminho vizinho é dado por

\delta S=\sum_{k=1}^N\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\delta q_k\right]_{t_1}^{t_2}+\sum_{k=1}^N\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac {\partial L}{\partial q_k} - \frac {d}{d t}  \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta q_k \,dt.

Desde que os caminhos do movimento atual satisfaçam a equação de Euler–Lagrange, a integral em \delta S será zero. No primeiro termo nós colocaremos \delta q_k(t_1)=0, e denotaremos o valor de \delta q_k(t_2) por simplesmente \delta q_k. Trocando \partial L/\partial \dot{q}_{k} por p_k, nós teremos

\delta S=\sum_{k=1}^N p_k \delta q_k.

A partir desta relação se segue que a derivada parcial da ação com respeito às coordenadas são iguais ao momento correspondente. Similarmente, as coordenadas podem ser obtidas como derivadas com respeito do momento transformado, ao se inverter estas equações, pode-se determinar a evolução do sistema mecânico, isto é, determinar as coordeadas como funções do tempo. As posições iniciais e as velocidades são as constantes da integral para a solução de S, que corresponde às quantidades conservadas da evolução tal como a energia total, o momento angular, ou o vetor de Laplace–Runge–Lenz.

Comparação com outras formulações da mecânica[editar | editar código-fonte]

A equação de Hamilton–Jacobi é uma equação de derivadas parciais de primeira ordem para a função S das N coordenadas generalizadas q_{1},\dots,q_{N} e de tempo t. O momento generalizado não aparece, exceto como derivadas de S.

Para comparação, na equivalente equação de Euler–Lagrange da mecânica de Lagrange, o momento conjugado também não aparece; entretanto, estas equações são um sistema de N, geralmente equações de segunda ordem da evolução temporal das coordenadas generalizadas. Como uma nova comparação, a equação de Hamilton é similar a um sistema de 2N equações de primeiro grau para evolução temporal das coordenadas e seus momentos conjugados p_{1},\dots,p_{N}.

Já que a equação de Hamilton–Jacobi é uma expressão equivalente a um problema de minimização integral como o princípio de Hamilton, ela pode ser útil em outros problemas de cálculo de variações e outros campos da matemática e da física, como sistema dinâmico, geometria simplética e caos quântico. Por exemplo a equação de Hamilton–Jacobi pode ser utilizada para de terminar as geodésicas de uma variedade de Riemann.

Notação[editar | editar código-fonte]

Para abreviar, utilizaremos negrito como em \mathbf{q} para representar a lista de N coordenadas generalizadas.


\mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N-1}, q_{N})

que não precisa transformar como um vetor em rotação. O produto escalar é definido aqui como a soma dos produtos dos componentes respectivos, isto é,


\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} p_{k} q_{k}.

Referências

  1. H. Goldstein. Classical Mechanics (em inglês). [S.l.]: Addison Wesley, 2002. p. 484-492. 0-201-65702-3.
  2. J. J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics (em inglês). [S.l.]: Benjamin/Cummings Publishing, 1985. p. 103-107. 0-8053-7501-5.

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • A. Fetter and J. Walecka. Theoretical Mechanics of Particles and Continua (em inglês). [S.l.]: Dover Books, 2003. 0-486-43261-0.