Comutador (matemática)

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Na matemática, o Comutador indica o "quanto" uma operação binária falha em ser comutativa. Diferentes definições são usadas em Teoria dos grupos e Teoria dos anéis.

Teoria dos grupos[editar | editar código-fonte]

Em teoria dos grupos, o comutador de dois elementos (g e h) de um grupo G é dado por:

[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh

O conjunto dos comutadores,  \{[g,h] \in G\ |\ \forall\ g,h \in G  \}, não é fechado no produto (logo não é um subgrupo; mas o menor grupo em que isto ocorre tem ordem 96 [carece de fontes?]). O subgrupo gerado pelos comutadores, G' é chamado de subgrupo comutador, e tem várias propriedades importantes (ele é um subgrupo normal, o quociente G/G' é abeliado, etc).

Vale também que um grupo G é abeliano se, e somente se, seu subgrupo comutador é o subgrupo trivial de um elemento: G' = \{e\}.

Teoria dos anéis[editar | editar código-fonte]

Em Teoria dos anéis o comutador de dois elementos a,b de um anel é dado por

[a,b] = ab-ba

O comutador de a e b é zero se e somente se os elementos a e b comutam.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Colchete de Poisson.

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