Comutador (matemática)
Na matemática, o comutador indica o "quanto" uma operação binária falha em ser comutativa. Diferentes definições são usadas em teoria dos grupos e teoria dos anéis.
Teoria dos grupos[editar | editar código-fonte]
Em teoria dos grupos, o comutador de dois elementos ( e ) de um grupo G é dado por:
![{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87495055902ee8caee67b2645802bd3192d68c5)
O conjunto dos comutadores, não é fechado no produto (logo não é um subgrupo; mas o menor grupo em que isto ocorre tem ordem 96 [carece de fontes]). O subgrupo gerado pelos comutadores, G' é chamado de subgrupo comutador, e tem várias propriedades importantes (ele é um subgrupo normal, o quociente G/G' é abeliado, etc).
![{\displaystyle \{[g,h]\in G\ |\ \forall \ g,h\in G\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309e368b34021d9f8a68ea4cfadf9798e87116df)
Vale também que um grupo é abeliano se, e somente se, seu subgrupo comutador é o subgrupo trivial de um elemento:
Teoria dos anéis[editar | editar código-fonte]
Em teoria dos anéis o comutador de dois elementos de um anel é dado por
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf78c808a8f58515d59d520bdfac43cf80114f)
O comutador de e é zero se e somente se os elementos e comutam.
