Comutador (matemática)
Na matemática, o Comutador indica o "quanto" uma operação binária falha em ser comutativa. Diferentes definições são usadas em Teoria dos grupos e Teoria dos anéis.
[editar] Teoria dos grupos
Em teoria dos grupos, o comutador de dois elementos (
e 
) de um grupo G é dado por:
![[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh](http://upload.wikimedia.org/math/e/7/4/e7488e0d28fa4915d122996a32898885.png)
O conjunto dos comutadores, ![\{[g,h] \in G\ |\ \forall\ g,h \in G \}](http://upload.wikimedia.org/math/f/1/2/f1267d406e77c5e69f8461ac0f410dee.png)
, não é fechado no produto (logo não é um subgrupo; mas o menor grupo em que isto ocorre tem ordem 96 [carece de fontes]). O subgrupo gerado pelos comutadores, G' é chamado de subgrupo comutador, e tem várias propriedades importantes (ele é um subgrupo normal, o quociente G/G' é abeliado, etc).
Vale também que um grupo 
é abeliano se, e somente se, seu subgrupo comutador é o subgrupo trivial de um elemento: 
.
[editar] Teoria dos anéis
Em Teoria dos anéis o comutador de dois elementos 
de um anel é dado por
![[a,b] = ab-ba](http://upload.wikimedia.org/math/a/e/2/ae2f717ff56609302a8d7be2b5b5b83f.png)
O comutador de 
e 
é zero se e somente se os elementos e comutam.
