Combinação linear

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos multiplicando-se cada um deles por uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma combinação linear de x e y seria uma expressão do tipo ax + by, em que a e b são constantes).1 2 3 O conceito de combinação linear é central na álgebra linear e em áreas relacionadas da matemática.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma combinação linear de um conjunto S de vectores de um espaço vectorial V sobre um corpo K é uma soma finita

 a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n

onde  v_1 ,\ldots, v_n\in S e a_1 ,\ldots, a_n \in K.4 5

Uma forma equivalente de definir a combinação linear é qualquer soma \sum_{v \in S} a_v \ v \,, desde que a função a: S \mapsto K\, tenha suporte finito, isto é, a^{-1}(K - \{0\})\, seja um conjunto finito.

Conceitos relacionados[editar | editar código-fonte]

Vários conceitos dependem da noção de combinação linear:

  • O espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.4
  • Um conjunto S de vetores diz-se linearmente dependente se o vetor nulo é uma combinação linear de vetores de S com pelo menos um escalar diferente de zero.
  • Reciprocamente, um conjunto S de vectores é linearmente independente quando a única combinação linear de S que gera o vector zero é aquela formada por coeficientes zero, ou seja,
\forall a: S \mapsto K\ \mbox{ de suporte finito }, \sum_{v \in S} a_v \ v = 0 \Rightarrow \forall v, a_v = 0\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Uma combinação linear de combinações lineares também é uma combinação linear. Em outras palavras, seja S um conjunto (não-vazio) de vectores, seja S1 um conjunto (não-vazio) em que cada elemento é uma combinação linear de vectores de S e seja v uma combinação linear de vectores de S1. Então v é uma combinação linear de vectores de S.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • O vector (7,2,9) \in \mathbb{R}^3 é uma combinação linear do conjunto \{(2,1,3),(1,0,1)\} porque (7,2,9) = 2(2,1,3) + 3(1,0,1). Portanto, (7,2,9) \in \operatorname{span}\{(2,1,3),(1,0,1)\}.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Lay, 2006
  2. Strang, 2006
  3. Axler, 2002
  4. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 57
  5. Noble & Daniel, 1986, p. 91

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.