Espaço de Minkowski

Em física e matemática, espaço de Minkowski, também tratada de métrica de Minkowski, é a configuração matemática na qual a teoria da relatividade especial de Einstein é mais comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar um espaço-tempo.

O espaço de Minkowski possui este nome em referência ao matemático alemão Hermann Minkowski.

Estrutura

Formalmente, o espaço de Minkowski é um campo vetorial real quadrimensional equipado com uma forma bilinear simétrica, não degenerada, com assinatura (-,+,+,+).

Elementos do espaço de Minkowski são chamados eventos ou quadrivetores.

Espaço de Minkowski é freqüentemente denotado R^1,3 para enfatizar a assinatura, entretanto é também denotada M ⁴ ou simplesmente M.

O Produto interno no espaço de Minkowski

O que se chama de produto interno no espaço de Minkowski é similar ao produto interno euclidiano, com uma diferença fundamental: enquanto que em um produto interno a equação v.v = 0 tem como única solução o vetor nulo v = 0, no caso do espaço de Minkowski existem vários quadrivetores que a satisfazem.

Este produto interno gera uma geometria diferente da euclideana, a geometria geralmente associada a relativadade.

Considere $M$ sendo um vetor-espaço real quadrimensional. O produto interno Minkowski é uma função $\eta : M \times M \rightarrow \R$ (isto é, dado dois vetores quaisquer $V, W$ em $M$ define-se $\eta(V,W)$ como um número real) que satisfaz as propriedades (1), (2), (3) listadas aqui, bem como a propriedade (4) dada abaixo:

1.  bilinear: $\eta (aU + V, W) \, = a \eta(U, W) + \eta(V, W)$, ( $\forall a \in \R$ e $\forall U, V, W \in M$)

2.  simétrica: $\eta (V, W) \, = \eta (W, V)$ ($\forall V, W \in M$)

3.  não degenerada: se $\eta (V, W) \, = 0$ $\forall W \in M$, então $V \, = 0$,

4.  O produto interno $\eta$ tem assinatura métrica (-,+,+,+)