Derivada de segunda ordem

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Derivada de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

A derivada de segunda ordem de uma função, ou segunda derivada, representa a derivada da derivada desta função. Em símbolos, a derivada de segunda ordem pode ser representada por y\prime\prime ou \frac{d^2 y}{dx^2}, sendo y função de x.

Fórmulas e cálculos[editar | editar código-fonte]

A derivada de segunda ordem de uma função f(x) (em relação a x) é a derivada da derivada da função f(x), ambas em relação a x. Matematicamente,

\frac{d^2 f(x)}{dx^2}=\frac{d}{dx} ( \frac{df(x)}{dx} ).

Sua representação de limite é: \frac{d^2 f(x)}{dx^2}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+2 \Delta x)-2f(x+ \Delta x)+f(x)}{\Delta x^2}.

Por ser a derivada da derivada a integral da derivada de segunda ordem é \int {\frac{d^2 f(x)}{dx^2} dx}=\frac{df(x)}{dx}+C.

Analogamente, as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de dois argumentos f(x,y) são:

\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}), \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}) e \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}).

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A concavidade de uma função é obtida através da derivada segunda, igualando-a a zero. Após obter as raízes da derivada segunda põe-se numa reta ordenada, com sua respectivas raízes. Fazendo análise: Substitui-se um número facilitador nas extremidades e entre as raízes, se o sinal obtido for positivo a concavidade é voltada para cima; se for negativo a concavidade é voltada para baixo.

Derivada de segunda ordem na física[editar | editar código-fonte]

Se x(t) é a função que do movimento rectilíneo de um objeto, a derivada de segunda ordem x\prime\prime (t) do mesmo no instante t representa sua aceleração. Analogamente, se P(t) é uma função vectorial que especifica o movimento de um ponto, o vetor aceleração do mesmo será \frac{d^2 P(t)}{d^2 t}. Para as derivadas de segunda ordem de funções vetoriais, a mesma regra vale: é a derivada da derivada da função vectorial, no caso.