Derivada de segunda ordem

Derivada de segunda ordem

A derivada de segunda ordem de uma função, ou segunda derivada, representa a derivada da derivada desta função. Em símbolos, a derivada de segunda ordem pode ser representada por $y\prime\prime$ ou $\frac{d^2 y}{dx^2}$, sendo y função de x.

Fórmulas e cálculos

A derivada de segunda ordem de uma função $f(x)$ (em relação a $x$) é a derivada da derivada da função $f(x)$, ambas em relação a x. Matematicamente,

$\frac{d^2 f(x)}{dx^2}=\frac{d}{dx} ( \frac{df(x)}{dx} )$.

Sua representação de limite é: $\frac{d^2 f(x)}{dx^2}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+2 \Delta x)-2f(x+ \Delta x)+f(x)}{\Delta x^2}$.

Por ser a derivada da derivada a integral da derivada de segunda ordem é $\int {\frac{d^2 f(x)}{dx^2} dx}=\frac{df(x)}{dx}+C$.

Analogamente, as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de dois argumentos $f(x,y)$ são:

$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x})$, $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})$ e $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})$.

Aplicação

A concavidade de uma função é obtida através da derivada segunda, igualando-a a zero. Após obter as raízes da derivada segunda põe-se numa reta ordenada, com sua respectivas raízes. Fazendo análise: Substitui-se um número facilitador nas extremidades e entre as raízes, se o sinal obtido for positivo a concavidade é voltada para cima; se for negativo a concavidade é voltada para baixo.

Derivada de segunda ordem na física

Se $x(t)$ é a função que do movimento rectilíneo de um objeto, a derivada de segunda ordem $x\prime\prime (t)$ do mesmo no instante $t$ representa sua aceleração. Analogamente, se $P(t)$ é uma função vectorial que especifica o movimento de um ponto, o vetor aceleração do mesmo será $\frac{d^2 P(t)}{d^2 t}$. Para as derivadas de segunda ordem de funções vetoriais, a mesma regra vale: é a derivada da derivada da função vectorial, no caso.