Função vectorial

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Gráfico da função vectorial r(t) = <2 cos t, 4 sin t, t> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a t = 19.5

Uma função vectorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cujo contradomínio é um conjunto de vectores multidimensionais. Estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo[1] e de Análise Real[2] .

Definição[editar | editar código-fonte]

Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial v(t) como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões \bold{i}, \bold{j} e \bold{k} de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

  • \mathbf{r}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j};
  • \mathbf{r}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}

onde f(t), g(t), h(t) são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de \bold{r}(t).

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

  • \mathbf{r}(t)=\langle f(t), g(t)\rangle;
  • \mathbf{r}(t)=\langle f(t), g(t), h(t)\rangle

Limites e Continuidade[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial \bold{r}(t) = f(t)\bold{i} + g(t)\bold{j} definimos o limite de \bold{r}(t) quando t tende a t_0 por:

\lim_{t\to t_0} \bold{r}(t) := \left(\lim_{t\to t_0} f(t)\right)\bold{i} + \left(\lim_{t\to t_0} g(t) \right)\bold{j}

se ambos os limites entre parênteses existirem. A definição de limite para funções a valores vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que \bold{r}(t) é contínua em t = t_0 quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

Dizemos que \bold{r}(t) é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial \bold{r}(t) = f(t)\bold{i} + g(t)\bold{j} definimos a derivada de \bold{r}(t) em relação a t por:

\bold{r}'(t) = \frac{d \bold{r}}{d t} (t) := \lim_{h\to 0} \frac{\bold{r}(t+h) - \bold{r}(t)}{h}

Dizemos que \bold{r}(t) é derivável (diferenciável) em t = t_0 quando \bold{r}'(t_0) existe. Além disso, dizemos que \bold{r}(t) é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que \bold{r}'(t) = f'(t)\bold{i} + g'(t)\bold{j}. Além disso, vemos que \bold{r}(t) é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para \bold{r}(t) = f(t)\bold{i} + g(t)\bold{j} + h(t)\bold{k}.

Regras de derivação[editar | editar código-fonte]

Sejam \bold{u}(t) e \bold{v}(t) funções vetoriais diferenciáveis, \bold{c} um vetor constante, f(t) uma função escalar diferenciável e c um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

  • \frac{d \bold{c}}{d t} = 0
  • \frac{d}{d t}\left[c\bold{u}(t)\right] = c\frac{d\bold{u}(t)}{dt}
  • \frac{d}{dt}\left[f(t)\bold{u}\right] = \frac{d f(t)}{dt}\bold{u}(t) + f(t)\frac{d \bold{u(t)}}{dt}
  • \frac{d}{dt} \left[\bold{u}(t) \pm \bold{v}(t)\right] = \frac{d \bold{u}(t)}{dt} \pm \frac{d \bold{v}(t)}{d t}
  • \frac{d}{dt}\left[\bold{u}(t)\cdot\bold{v}(t)\right] = \frac{d \bold{u}(t)}{d t}\cdot \bold{v}(t) + \bold{u}(t)\cdot\frac{d \bold{v}(t)}{d t}
  • \frac{d}{d t}\left[\bold{u}(f(t))\right] = f'(t)\bold{u}'(f(t))

O ponto "\cdot" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Integrais[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial \bold{r}(t), definimos sua integral indefinida em relação a t por:

\int \bold{r}(t) d t = \bold{R}(t) + \bold{c}

onde \bold{R}(t) é uma primitiva de \bold{r}(t), i.e. \bold{R}'(t) = \bold{r}(t), e \bold{c} é um vetor indeterminado.

Além disso, se \bold{R}(t) é qualquer primitiva de \bold{r}(t) no intervalo [a,~b], então a integral definida de \bold{r} de a a b é dada por:

\int_{a}^b \bold{r}(t) dt = \bold{R}(b) - \bold{R}(a)

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se \bold{r}(t) = f(t)\bold{i} + g(t)\bold{j} com f(t) e g(t) funções integráveis em [a,~b], então:

\int_{a}^b \bold{r}(t) dt = \left(\int_a^b f(t) dt\right)\bold{i} + \left(\int_{a}^b g(t) dt\right)\bold{j}.

Vale resultado análogo para \bold{r}(t) = f(t)\bold{i} + g(t)\bold{j} + h(t)\bold{k}.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  1. Thomas, George. Cálculo - Volume 2. 12. ed. [S.l.]: Pearson, 2012. ISBN 9788581430874.
  2. Lima, Elon. Análise no Espaço Rn. [S.l.]: IMPA, 2007. ISBN 978-85-244-0189-3.