Cálculo vetorial

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Cálculo vetorial (AO 1945: cálculo vectorial) é uma área da matemática relacionada com a análise real multivariável de vectores em duas ou mais dimensões. Consiste num conjunto de fórmulas e técnicas para a resolução de problemas, muito útil na engenharia e na física.

Consideremos um campo vectorial, que associa um vector a cada ponto no espaço, e um campo escalar, que associa um escalar a cada ponto no espaço.[1] Por exemplo, a temperatura de uma piscina é um campo escalar: a cada ponto podemos associar um valor escalar para a temperatura. O fluir da água nessa mesma piscina é um campo vectorial: a cada ponto podemos associar um vector velocidade.

História[editar | editar código-fonte]

Os quaternions foram descobertos pelo irlandês William Rowan Hamilton em 1843. Hamilton procurava formas de estender os números complexos (que podem ser vistos como pontos de um plano) a dimensões espaciais mais elevadas. Quaternions são feitos de um vector de três dimensões mais um escalar.

Posteriormente, Oliver Heaviside e Willard Gibbs entre outros, desenvolveram a álgebra vectorial e o cálculo vectorial.

Alguns dos apoiantes de Hamilton opuseram-se fortemente aos desenvolvimentos crescentes da álgebra vectorial e cálculo vectorial, afirmando que os quaternions forneciam uma notação superior. Se bem que isto é discutível em três dimensões, os quaternions não podem ser usados em outras dimensões (apesar de extensões como as dos octonions e álgebra de Clifford poderem ser mais aplicáveis). A notação vectorial substituiu quase universalmente os quaternions na ciência e engenharia por volta dos meados do século XX.

Noções[editar | editar código-fonte]

  • Campo -- É uma região do espaço matemático onde há grandezas associadas a seus pontos. Se essas grandezas se mantêm constantes ao longo do tempo dizemos que esse campo é estável; se elas tem a mesma direção em todos os pontos dizemos que o campo é UNIFORME; se elas são iguais em todos os pontos dizemos que o campo é HOMOGÊNEO.
  • Escalar -- é o nome que se dá a grandezas reais associadas a pontos do espaço. Não possuem sentido ou direção. Exemplos: massa, temperatura, densidade.
  • Vectores -- são objectos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direcção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

Graficamente, costuma-se representar o vector por uma seta ligando dois pontos do espaço geométrico, que geralmente são designados como letras maiúsculas entre parêntesis; Sendo (O) seu ponto de origem e (P) seu ponto de extremidade, o vector pode então ser simbolizado pela associação desses dois pontos, ou seja, por (OP); seu módulo é simbolizado por |OP|. Outro simbolismo frequente consiste em designar o vector por uma letra minúscula sobreposta de uma pequena seta.

  • Álgebra vetorial -- É a área da matemática que trata da operações e transformações de vetores; as definições usadas na álgebra numérica são extensíveis à álgebra vetorial. As definições fundamentais são:[2]
    1. dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção.
    2. dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação, porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA)
    3. a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da sequência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +(AB) + (BC)] é (OC)
    4. a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igual a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.
    5. o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB), módulo igual a [m.|AB|], mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m< 0.
  • Leis operacionais -- Para adição de vetores ou multiplicação de vetor por escalar, valem as leis associativas e comutativas, ou seja:
    1. [(AB) + (CD)] = [(CD) + (AB)] - lei comutativa da adição
    2. (AB) + [(CD) + (EF)] = [(AB) + (CD)] + (EF) - lei associativa da adição
    3. n\cdot (AB) = (AB)\cdot n
    4. m\cdot [n\cdot (AB)] = [m\cdot n]\cdot (AB) - lei comutativa da multiplicação
    5. [m + n]\cdot (AB) = m\cdot (AB) + n\cdot (AB) - lei distributiva
    6. m\cdot [(AB) + (CD)] = m\cdot (AB) + m\cdot (CD) - lei distributiva
  • Produto escalar de dois vetores - É definido como o escalar resultante do produto dos módulos dos vetores e do cosseno do ângulo formado entre eles. Ex.(AB)\cdot (CD) = |AB|\cdot|CD|\cdot\cos \theta, sendo \theta o ângulo entre AB e CD.
  • Produto vetorial de dois vetores - É definido como um vetor cujo módulo é o resultado do produto dos módulos dos dois vetores multiplicandos e o seno do ângulo que eles formam; sua direção é perpendicular ao plano definido pelos vetores multiplicandos e o sentido é tal que os dois vetores multiplicandos e o resultante cujo módulo, pela ordem, formem um triédro positivo.

Note-se que o módulo do vetor resultante é igual à área do paralelogramo construído pelos vetores multiplicandos. A lei associativa da multiplicação não se aplica a produtos vetoriais.

  • Produtos triplos -- São operações envolvendo simultaneamente produtos escalares e vetoriais entre vários vetores, para as quais, em geral, não se aplicam as leis comutativas e associativas.

Teorema[editar | editar código-fonte]

x^\prime = \gamma ( x - v \cdot t )
t^\prime = \gamma ( t - \frac{v}{c^2} x)

Onde:

\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} }  }

é chamado de fator de Lorentz. Este fator, mesmo para uma velocidade extremamente alta para o nosso padrão diário, como uma velocidade de 16 km/s, ou 57 600 km/h, que é a velocidade média da Voyager, um dos objetos mais rápidos construídos pelo homem [1], seria de :

\gamma = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{16^2}{300000^2}) } = \frac{1}{ 0,99999999857777777676 } = 1,00000000142222222526

E o fator de mistura entre tempo e espaço na transformação de Lorentz (o termo que multiplica x na coordenada de tempo do sistema em movimento, dado acima) seria de :

 \frac{v}{c^2} = \frac{16}{300000^2} = 0,00000000017777777777

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Cálculo Vetorial e geometria analítica (PDF) (em português) UNESP. Visitado em 25 de maio de 2013.
  2. Jacir J. Venturi. Álgebra vetorial e geometria analítica (em português) UFPR USP. Visitado em 25 de maio de 2013.

Fontes adicionais[editar | editar código-fonte]

  • Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System (em inglês). [S.l.]: Dover Publications; Reprint edition, 1967. ISBN 0-486-67910-1.
  • Schey, H. M.. Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus (em inglês). [S.l.]: W. W. Norton & Company, 2005. ISBN 0-393-92516-1.
  • Marsden, J.E.. Vector Calculus (em inglês). [S.l.]: W. H. Freeman & Company, 1976. ISBN 0-7167-0462-5.
  • Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.