Diferencial de uma função

Em cálculo, o diferencial representa a parte principal da variação de uma função y = f(x) com relação à variações na variável independente. O diferencial dy é definido por

$$dy=f'(x)\,dx,$$

na qual, $f'(x)$ é a derivada de f em relação a x, e dx é uma variável real extra (de modo que dy é uma função de x e de dx). A notação é tal que a equação

$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$$

é válida. A derivada é representada na notação de Leibniz dy/dx, e isso é consistente com o tratamento da derivada como um quociente de diferenciais. Também se escreve

$$df(x)=f'(x)\,dx.$$

O significado preciso das variáveis dy e dx depende do contexto da aplicação e o nível de rigor matemático exigido. O domínio destas variáveis pode ter um significado geométrico particular se o diferencial é considerado como uma forma diferencial particular, ou um significado analítico se o diferencial é considerado como uma aproximação linear para o incremento de uma função. Tradicionalmente, as variáveis dx e dy são consideradas muito pequenas (infinitesimais), e esta interpretação é formalizada em análise não padronizada.

Definição

Uma função $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ se diz diferenciável no ponto $a\in \mathbb {R} ^{n}$ se existe uma aplicação linear $\ell :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ tal que:

$\lim _{x\to a}{\dfrac {f(x)-f(a)-\ell (x-a)}{||x-a||}}=0.$

Em tal caso, $\ell =\ell (a)$ denota-se $Df(a)$ e se denomina a diferencial da função $f$ no ponto $a.$

Referências

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Ligações externas

• Diferencial de uma funçãono projeto Wolfram Demonstrations