Série de Laurent

Em matemática, uma série de Laurent é uma expressão da forma

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n,$

onde cada a_n é, geralmente, um número complexo.

Séries de Laurent convergentes

Diz-se que uma tal série converge se, para algum número inteiro N, ambas as séries

$\sum_{n=N}^{+\infty}a_n\text{ e }\sum_{n=-\infty}^{-N-1}a_n$

forem convergentes. Se for esse o caso, o número

$\left(\sum_{n=N}^{+\infty}a_n\right)+\left(\sum_{n=-\infty}^{-N-1}a_n\right)$

representa-se por

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n.$

Este número não depende da escolha de N. De facto, se, para algum N ∈ Z, ambas as séries

$\sum_{n=N}^{+\infty}a_n\text{ e }\sum_{n=-\infty}^{-N-1}a_n$

forem convergentes, então, para qualquer M ∈ Z, as séries

$\sum_{n=M}^{+\infty}a_n\text{ e }\sum_{n=-\infty}^{-M-1}a_n$

convergem e

$\left(\sum_{n=N}^{+\infty}a_n\right)+\left(\sum_{n=-\infty}^{-N-1}a_n\right)=\left(\sum_{n=M}^{+\infty}a_n\right)+\left(\sum_{n=-\infty}^{-M-1}a_n\right).$

Séries de Laurent de funções analíticas

Considere-se um anel A em C, ou seja, um conjunto da forma

$A=\left\{z\in\mathbb{C}\,\vert\,r<|z-c|<R\right\},$

onde c ∈ C e onde r, R ∈ [0,+∞] são tais que r < R. Se f for uma função analítica cujo domínio contenha A então é possível representar f(z), para cada z ∈ A, sob a forma

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-c)^n$

de uma e uma só maneira.

Os coeficientes de uma série de Laurent de uma função analítica f cujo domínio contenha um anel A são calculados a partir de um lacete γ cuja imagem está contida no anel em questão.

A possibilidade de se representar f(z) sob esta forma foi demonstrada por Pierre Alphonse Laurent que a publicou em 1843. Karl Weierstrass havia descoberto isso em 1841, mas não o publicou.

Os coeficientes da série de Laurent da função analítica f no anel A:

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n$

podem ser obtidos pelo seguinte processo:

$a_n=\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}},$

onde γ é um lacete (ou caminho fechado) com imagem no anel dado e cujo índice relativamente a c seja igual a 1. A representação de f(z) pela série de Laurent dada é então válida para qualquer ponto do anel.

Bibliografia

• Complex Analysis , L. Ahlfors, 1979, 3rd ed. McGraw Hill