Teste da série alternada

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Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas da seguinte forma:

  • \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n a_n\,, onde a_n\ge 0

O teste diz que a série é convergente se:

E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina as somas parciais S_N da seguinte forma:

S_N=\sum_{n=1}^{N}(-1)^n a_n\,

Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:

S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^n a_n = \left(a_2 - a_1\right) + \left(a_4 - a_3\right)+\ldots + \left(a_{2N} - a_{2N-1}\right)\,
S_{2N+1}=\sum_{n=1}^{2N+1}(-1)^n a_n = -a_1 + \left(a_2 - a_3\right) + \left(a_4 - a_5\right)+\ldots + \left(a_{2N} - a_{2N+1}\right)\,

Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em S_{2N} e maior ou igual a zero em S_{2N+1}, assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.

Ainda temos:

S_{2N+1}-S_{2N}= (-1)^{2N+1}a_{2N+1}=-a_{2N+1}\leq 0\,

Portanto S_{2N+1}\leq S_{2N}\, Da monotonicidade podemos acrescentar:

S_{2k+1}\leq S_{2N+1}\leq S_{2N}\leq S_{2k}, ~~k<N\,

Agora considere o limite N\to\infty:

  • A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormenete, portanto converge para um limite L_0.
  • A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite L_1.

Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:

S_{2k+1}\leq L_1\leq L_0\leq S_{2k}, \,

Para provar que a série converge, reste mostrar que L_0=L_1, para tal faça:

|L_0-L_1|=L_0-L_1\leq S_{2k}-S_{2k+1}=a_{2k+1}\to 0, k \to \infty

Denotando este limite por L=L_0=L_1, temos:

S_{2k+1}\leq L\leq S_{2k}, \, o que é equivalente a:
\left\{\begin{array}{lcccl}
S_{2k+1}-S_{2k} &\leq& L-S_{2k}&\leq& 0\\
0 &\leq& L-S_{2k+1} &\leq& S_{2k}-S_{2k+1}
\end{array}\right.  \,,

De onde se pode concluir a estimativa:

\left|S_n-L\right| \leq a_n, ~~\forall n>0

Convergência condicional e absoluta[editar | editar código-fonte]

Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}

que converge por esse teste, mas:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n}{n}=\infty
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