Função monótona

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A função f(x)=x3 é monótona crescente, embora a sua derivada se anule em x=0.
A função f(x)=1/x, para x não nulo, não é monótona decrescente, embora tenha derivada negativa em todos os pontos do seu domínio.

Em matemática, uma função entre dois conjuntos ordenados é monótona quando ela preserva (ou inverte) a relação de ordem.

Quando a função preserva a relação, ela é chamada de função crescente.

Quando ela inverte a relação, ela é chamada de função decrescente.

Usa-se o prefixo estritamente para enfatizar que a função é injetiva, mas, em muitos contextos, isso fica implícito.

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam (A, >) e (B, >) conjuntos ordenados. Então:

  • f é estritamente crescente quando \forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(x) > f(y))
  • f é estritamente descrescente quando \forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(y) > f(x))
  • f é monótona não-decrescente quando \forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(x) \ge f(y))
  • f é monótona não-crescente quando \forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(y) \ge f(x))

Note-se que, de propósito, não foram definidos os termos crescente e decrescente, já que alguns autores definem como, respectivamente, estritamente crescente e estritamente decrescente e outros autores como monótona não-decrescente e monótona não-crescente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

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