Função monótona

A função f(x)=x³ é monótona crescente, embora a sua derivada se anule em x=0.

A função f(x)=1/x, para x não nulo, não é monótona decrescente, embora tenha derivada negativa em todos os pontos do seu domínio.

Em matemática, uma função entre dois conjuntos ordenados é monótona quando ela preserva (ou inverte) a relação de ordem.

Quando a função preserva a relação, ela é chamada de função crescente.

Quando ela inverte a relação, ela é chamada de função decrescente.

Usa-se o prefixo estritamente para enfatizar que a função é injetiva, mas, em muitos contextos, isso fica implícito.

Definição

Sejam (A, >) e (B, >) conjuntos ordenados. Então:

• f é estritamente crescente quando $\forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(x) > f(y))\,$
• f é estritamente descrescente quando $\forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(y) > f(x))\,$
• f é monótona não-decrescente quando $\forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(x) \ge f(y))\,$
• f é monótona não-crescente quando $\forall x, y \in A, \ (x > y \implies f(y) \ge f(x))\,$

Note-se que, de propósito, não foram definidos os termos crescente e decrescente, já que alguns autores definem como, respectivamente, estritamente crescente e estritamente decrescente e outros autores como monótona não-decrescente e monótona não-crescente.

Exemplos

• A função identidade em qualquer conjunto ordenado é estritamente crescente.
• A função f(x) = -x no conjunto dos números reais é estritamente decrescente.

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