Função gama

A função gama nos números reais.

Em matemática, a função gama é uma extensão da função factorial aos números complexos (após uma reparametrização). Esta função é definida por:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \,\!$

e verifica (para n natural):

$\Gamma(n+1)=n!\,\!$

De modo geral:

$\Gamma(z+1)=z \ \Gamma(z)\,$

em particular:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt \pi\,$

Outra fórmula é a fórmula de reflexão de Euler, que diz que:

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!$

Prova

É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que

$\int_0^\infty e^{-r}\,dr=\left.-e^{-r}\right\vert _0^\infty=1$

Usando o método da substituição, de modo que $r=st, dr=tds$, (t>0 e fixo), obtém-se:

$\int_0^\infty e^{-st}\,ds=\frac{1}{t}, t>0$

Derivando-se em relação a $t$ e aplicando a fórmula de Leibniz:

$\int_0^\infty se^{-st}\,ds=\frac{1}{t^2}, t>0$

Utilizando o mesmo processo novamente:

$\int_0^\infty s^2e^{-st}\,ds=\frac{1.2}{t^3}, t>0$

Derivando sucessivas vezes em relação a $t$:

$\int_0^\infty s^{n}e^{-st}\,ds=\frac{n!}{t^{n+1}}, t>0$

Para $t=1$

$\int_0^\infty s^{n}e^{-s}\,ds=n!$

Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos $x$, de modo que:

$g(x)=\int_0^\infty e^{-s}s^{x}\,ds=x!$

Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que

$\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt$

Assim,

$\Gamma(x)=g(x-1)\,\!$

E, analogamente, para números inteiros,

$\Gamma(n)=(n-1)!\,\!$

Funções relacionadas

• A função gama incompleta é obtida pela mesma integral que a função gama, porém com uma integral indefinida no lugar da integral definida:

$\Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!$

$\gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!$

• A função digama é a derivada do logaritmo da função gama:

$\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.$