Função gama

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A função gama nos números reais.

Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega \Gamma) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma:

\Gamma(n+1)=n!

Esta função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica) para todos números complexos com, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva a definição segue por uma integral imprópria convergente:

\Gamma(t)=\int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}dx

Podemos encontrar a demonstração da convergência desta integral no artigo de Emil Artin, The Gamma Function.

A função gama é debutante em diversas funções de distribuição probabilísticas, sendo assim encontra aplicações nos campos da probabilidade, estatística e combinatória.

Motivação[editar | editar código-fonte]

A função gama pode ser vista como solução do seguinte problema de interpolação:

"Encontrar uma curva suave que conecta os pontos (x , y) dados por y = (x − 1)! em que x é um inteiro positivo."

Esboçando em um gráfico os primeiros números fatoriais fica claro que a curva pode ser desenhada, mas seria preferível ter um expressão analítica que descreve precisamente a curva, na qual o número de operações não dependa do tamanho  de x. A simples fórmula recursiva para o fatorial x! = x × ... × 2 × 1,  não pode ser usada para obter valores fracionários, pois é válida apenas quando x é um número natural. No entanto, foi demonstrado por Euler que não há uma expressão analítica convencional para fatorial, no sentido que não pode ser a combinação finita (com um número finito de termos) de somas, potências, produtos, funções exponenciais e logaritmos, demonstrado em seu artigo intitulado "Sobre progressões transcendentais, nas quais o termo geral não pode ser expresso algebricamente", ("De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt"). A função gama é uma solução que não só resolve este problema, mas também possuí distinguíveis propriedades entre as candidatas, como é mostrado no Teorema de Bohr-Mollerup.

Prova[editar | editar código-fonte]

É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que

\int_0^\infty e^{-r}\,dr=\left.-e^{-r}\right\vert _0^\infty=1

Usando o método da substituição, de modo que r=st, dr=tds, (t>0 e fixo), obtém-se:

\int_0^\infty e^{-st}\,ds=\frac{1}{t}, t>0

Derivando-se em relação a t e aplicando a fórmula de Leibniz:

\int_0^\infty se^{-st}\,ds=\frac{1}{t^2}, t>0

Utilizando o mesmo processo novamente:

\int_0^\infty s^2e^{-st}\,ds=\frac{1.2}{t^3}, t>0

Derivando sucessivas vezes em relação a t:

\int_0^\infty s^{n}e^{-st}\,ds=\frac{n!}{t^{n+1}}, t>0

Para t=1

\int_0^\infty s^{n}e^{-s}\,ds=n!

Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos x, de modo que:

g(x)=\int_0^\infty e^{-s}s^{x}\,ds=x!

Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que

\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt

Assim,

\Gamma(x)=g(x-1)

E, analogamente, para números inteiros,

\Gamma(n)=(n-1)!

Funções relacionadas[editar | editar código-fonte]

 \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .
 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .
\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

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