Função gama

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A função gama nos números reais.

Em matemática, a função gama é uma extensão da função factorial aos números complexos (após uma reparametrização).[1] Esta função é definida por:[1]


\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t

e verifica (para n natural):[1]

\Gamma(n+1)=n!

De modo geral:

\Gamma(z+1)=z \ \Gamma(z)

em particular:

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt \pi

Outra fórmula é a fórmula de reflexão de Euler, que diz que:

\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}

Prova[editar | editar código-fonte]

É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que

\int_0^\infty e^{-r}\,dr=\left.-e^{-r}\right\vert _0^\infty=1

Usando o método da substituição, de modo que r=st, dr=tds, (t>0 e fixo), obtém-se:

\int_0^\infty e^{-st}\,ds=\frac{1}{t}, t>0

Derivando-se em relação a t e aplicando a fórmula de Leibniz:

\int_0^\infty se^{-st}\,ds=\frac{1}{t^2}, t>0

Utilizando o mesmo processo novamente:

\int_0^\infty s^2e^{-st}\,ds=\frac{1.2}{t^3}, t>0

Derivando sucessivas vezes em relação a t:

\int_0^\infty s^{n}e^{-st}\,ds=\frac{n!}{t^{n+1}}, t>0

Para t=1

\int_0^\infty s^{n}e^{-s}\,ds=n!

Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos x, de modo que:

g(x)=\int_0^\infty e^{-s}s^{x}\,ds=x!

Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que

\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt

Assim,

\Gamma(x)=g(x-1)

E, analogamente, para números inteiros,

\Gamma(n)=(n-1)!

Funções relacionadas[editar | editar código-fonte]

 \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .
 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .
\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c GNU Scientific Library, Reference Manual, 7.19.1 Gamma Functions [em linha]
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