Função beta

Em matemática, a função beta, também chamada de integral de Euler de primeiro tipo, é a função definida pela integral definida:

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!$

para números complexos x e y cuja parte real seja positiva.

Propriedades

A função beta é simétrica, o que significa que:

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!$

Quando $x$ e $y$ são inteiros positivos, segue-se a partir da definição da função gama "$\Gamma \$" que:

$\mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!$

Ela tem muitas outras formas, incluindo:

$\mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!$

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!$

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!$

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!$

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!$

A função Beta satisfaz várias identidades interessantes, incluindo

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\!$

$\mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}}\!$

$\mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}\!$

$\mathrm {B} (x,y)\cdot (t\mapsto t_{+}^{x+y-1})=(t\to t_{+}^{x-1})*(t\to t_{+}^{y-1})\qquad x\geq 1,y\geq 1,\!$

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!$

onde $t\mapsto t_{+}^{x}$ é um função de potência truncada e a estrela da denota convolução. A identidade mais baixa acima, demonstra em particular $\Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}$. Algumas destas identidades, por exemplo, a fórmula trigonométrica, pode ser aplicada para derivar o volume de uma bola-n em coordenadas cartesianas. A integral de Euler para a função beta pode ser convertida em uma integral sobre o contorno de Pochhammer C como:

$\displaystyle (1-e^{2\pi i\alpha })(1-e^{2\pi i\beta })\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,\mathrm {d} t.$

Esta integral do contorno de Pochhammer converge para todos os valores de α e β e assim dá a continuação analítica da função beta. Assim como a função gama "$\Gamma \$" para inteiros descreve fatoriais, a função beta pode definir um coeficiente binomial depois de ajustar os índices:

${n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$

Além disso, para o inteiro n, $\mathrm {B} \,$ pode ser fatorado para dar uma forma fechada, uma função de interpolação para valores contínuos de k:

${n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.$

A função beta foi a primeira amplitude de dispersão conhecida na teoria das cordas, primeiramente conjecturado por Gabriele Veneziano. Ocorre também na teoria do processo de ligação preferencial, um tipo de processo de urna estocástica.

Função beta incompleta

A função beta incompleta, é uma generalização da função beta, definida como

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!$

Para x = 1, a função beta incompleta coincide com a função beta completa. A relação existente entre estas duas funções é como a que existe entre a função gama e sua generalização, a função gama incompleta.

A função beta incompleta regularizada (ou função beta regularizada para abreviar) é definida em termos da função beta incompleta e da função beta completa:

$I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!$

Bibliografia

• Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), «26. Probability functions», in: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ISBN 978-0-486-61272-0, New York: Dover Publications, pp. 925-995 
• Davis, Philip J. (1972), «6. Gamma function and related functions», in: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 🔗, ISBN 978-0-486-61272-0, New York: Dover Publications 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press